התפלגות פרמי-דיראק

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
התפלגות פרמי-דיראק משורטטת עבור טמפרטורות שונות. ככל שהטמפרטורה נמוכה יותר כך ההתפלגות קרובה יותר לפונקציית מדרגה.

התפלגות פרמי-דיראק (או סטטיסטיקת פרמי-דיראק) היא פונקציית התפלגות סטטיסטית בעזרתה ניתן לתאר תכונות של חלקיקים פרמיונים זהים חסרי אינטראקציה. ההתפלגות קרויה על שם הפיזיקאים אנריקו פרמי ופול דיראק.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

באופן מפורש, האכלוס הממוצע של רמת אנרגיה מסוימת במערכת של פרמיונים זהים הנמצאת בשיווי משקל תרמודינמי נתון על ידי הפונקציה הבאה:

כאשר:

  • הוא המספר הממוצע של חלקיקים שימצאו במצב (או לחלופין ההסתברות למציאת חלקיק במצב).
  • היא האנרגיה של מצב זה.
  • הוא הפוטנציאל הכימי.
  • היא הטמפרטורה.
  • הוא קבוע בולצמן.

בעזרת פונקציה זו, ובעזרת צפיפות מצבים , ניתן לחשב תכונות תרמודינמיות שונות של המערכת. לדוגמה, האנרגיה הממוצעת נתונה על ידי:

פיתוח[עריכת קוד מקור | עריכה]

את התפלגות פרמי-דיראק ניתן לקבל בקלות על ידי שימוש בצבר הגרנד קנוני. במסגרת צבר זה, ההסתברות למציאת מערכת במצב i עם חלקיקים ואנרגיה כוללת נתונה על ידי , כאשר היא פונקציית החלוקה הגרנד-קנונית.

ניקח כמערכת רמת אנרגיה (חד-חלקיקית) מסוימת . אם אין אינטראקציה בין החלקיקים כאשר הוא מספר החלקיקים הנמצאים ברמה זו. אם מדובר בפרמיונים, בגלל עקרון האיסור של פאולי ייתכן רק . פונקציית החלוקה במקרה זה תהיה . מכאן ניתן לקבל את מספר החלקיקים הממוצע על ידי שימוש ב, או על ידי כאשר .

תכונות ההתפלגות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • מתקיים . דבר זה מבטא את עקרון האיסור של פאולי - שני פרמיונים זהים לא יכולים להיות באותו מצב. בפרט המספר הממוצע של פרמיונים בכל מצב קטן (או שווה) מאחד.
  • בגבול של טמפרטורה נמוכה ( ) התפלגות פרמי-דיראק שואפת לפונקציית מדרגה, בה כל הרמות בעלות אנרגיה מאוכלסות, ואילו כל הרמות בעלות אנרגיה אינן מאוכלסות. האנרגיה המקסימלית של המצבים המאוכלסים מסומנת ונקראת אנרגיית פרמי.


קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא התפלגות פרמי-דיראק בוויקישיתוף