התפלגות פרמי-דיראק

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
התפלגות פרמי-דיראק משורטטת עבור טמפרטורות שונות. ככל שהטמפרטורה נמוכה יותר כך ההתפלגות קרובה יותר לפונקציית מדרגה.

התפלגות פרמי-דיראק (או סטטיסטיקת פרמי-דיראק) היא פונקציית התפלגות סטטיסטית בעזרתה ניתן לתאר תכונות של חלקיקים פרמיונים זהים חסרי אינטראקציה. ההתפלגות קרויה על שם הפיזיקאים אנריקו פרמי ופול דיראק.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

באופן מפורש, האכלוס הממוצע של רמת אנרגיה מסוימת במערכת של פרמיונים זהים הנמצאת בשיווי משקל תרמודינמי נתון על ידי הפונקציה הבאה:

 n_{FD}(\epsilon) = \frac{1}{e^{(\epsilon-\mu) / k_B T} + 1}

כאשר:

בעזרת פונקציה זו, ובעזרת צפיפות מצבים \ g(\epsilon), ניתן לחשב תכונות תרמודינמיות שונות של המערכת. לדוגמה, האנרגיה הממוצעת נתונה על ידי:

\ U = \int \epsilon g(\epsilon) n_{FD}(\epsilon) d\epsilon

פיתוח[עריכת קוד מקור | עריכה]

את התפלגות פרמי-דיראק ניתן לקבל בקלות על ידי שימוש בצבר הגרנד קנוני. במסגרת צבר זה, ההסתברות למציאת מערכת במצב i עם \ N_i חלקיקים ואנרגיה כוללת \ E_i נתונה על ידי  P_i = \frac{1}{\mathcal{Z}}e^{- \frac{(E_i-\mu N_i)}{k_BT}}, כאשר \mathcal{Z}=\sum_{i}e^{- \frac{(E_i-\mu N_i)}{k_BT}} היא פונקציית החלוקה הגרנד-קנונית.

ניקח כמערכת רמת אנרגיה (חד-חלקיקית) מסוימת \epsilon. אם אין אינטראקציה בין החלקיקים \ E_i = n\epsilon כאשר \ n=N_i הוא מספר החלקיקים הנמצאים ברמה זו. אם מדובר בפרמיונים, בגלל עקרון האיסור של פאולי ייתכן רק \ n=0,1. פונקציית החלוקה במקרה זה תהיה \mathcal{Z}=1+e^{-\frac{(\epsilon-\mu)}{k_BT}}. מכאן ניתן לקבל את מספר החלקיקים הממוצע על ידי שימוש ב \lang n \rang = \sum_{n} n P(n) , או על ידי  \lang n \rang = -\frac{\partial\Omega}{\partial\mu} כאשר \Omega = -k_B T\ln\mathcal{Z} .

תכונות ההתפלגות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • מתקיים \ n_{FD}(\epsilon) \leq 1 . דבר זה מבטא את עקרון האיסור של פאולי - שני פרמיונים זהים לא יכולים להיות באותו מצב. בפרט המספר הממוצע של פרמיונים בכל מצב קטן (או שווה) מאחד.
  • בגבול של טמפרטורה נמוכה ( \ T \to 0) התפלגות פרמי-דיראק שואפת לפונקציית מדרגה, בה כל הרמות בעלות אנרגיה \ \epsilon < \mu=\epsilon_F מאוכלסות, ואילו כל הרמות בעלות אנרגיה \ \epsilon > \mu=\epsilon_F אינן מאוכלסות. האנרגיה המקסימלית של המצבים המאוכלסים מסומנת \ \epsilon_F ונקראת אנרגיית פרמי.


קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא התפלגות פרמי-דיראק בוויקישיתוף