שיחה:משפט העקום של ז'ורדן

הוכחת המשפט

העליתי הוכחה אלמנטרית (עד כדי משפט נקודת השבת של בראואר) למשפט. קשה לעקוב אחריה ללא איורים מתאימים, אנסה לייצר כאלה באמצעות הסדנה. נחי - שיחה 14:01, 29 בינואר 2018 (IST)

ה"הוכחה באמצעות טופולוגיה אלגברית" היא למעשה הוכחה באמצעות "ניתן להראות". עוזי ו. - שיחה 18:59, 29 בינואר 2018 (IST)

אפשר לקרוא לזה סקירה של גישה להוכחה. יש מקום להרחיב את הפרק הזה בעיקר כדי להדגים את ההכללות לממדים גבוהים יותר, אבל ההוכחה המפורטת אולי פחות מתאימה. נחי - שיחה 22:00, 29 בינואר 2018 (IST)

זו לא סקירה, אלא הצבת המקרה של ז'ורדן כמקרה פרטי במשפט כללי (שעל ההוכחה שלו לא נאמר כאן כלום). חסר גם הסבר מדוע אפשר להמשיך פונקציה רציפה וחד-חד-ערכית מן המעגל למישור, לפונקציה כזו המוגדרת גם על פנים המעגל. עוזי ו. - שיחה 22:20, 29 בינואר 2018 (IST)

אנסה להסביר יותר על מהות המשפט הזה מטופולוגיה.

לא מדובר על המשכה רציפה אלא על שיכון פשוט. אולי הממדים היו מבולבלים; למשל שיכון של קטע ממשי בתוך מעגל היחידה המרוכב, או של דיסק במישור בתוך גלובוס. השימוש כאן הוא עבור שיכון של קטע היחידה בתוך דיסק במישור, כאשר מקומפקטיות ניתן להתייחס למישור כאל גלובוס. נחי - שיחה 07:42, 30 בינואר 2018 (IST)

המשפט המצוטט הוא "אם $f:D^{1}\to S^{2}$ הוא שיכון, אז מתקיים ${\tilde {H}}_{0}\left(S^{2}\backslash f\left(S^{1}\right)\right)=\mathbb {Z}$", כלומר הטענה מתייחסת לתמונת המעגל (העקום) בהנחה שיש שיכון של הדיסק. עוזי ו. - שיחה 10:01, 30 בינואר 2018 (IST)

לא בטוח שהבנתי. עקום ז'ורדן הוא שיכון של $D^{1}=[0,1]$ בתוך המישור, שהקומפקטיפיקציה שלו היא $S^{2}$ ששומרת על רכיבי הקשירות (במקרה זה, בגלל החסימות). מה פספסתי? נחי - שיחה 10:08, 30 בינואר 2018 (IST)

לא צריך להיות "אם $f:S^{1}\to S^{2}$ הוא שיכון"? עוזי ו. - שיחה 11:16, 30 בינואר 2018 (IST)

אתה צודק. נחי - שיחה 11:47, 30 בינואר 2018 (IST)

עוזי ו., הוספתי הוכחה ישירה באמצעות חישוב הומולוגיה לממדים הרלוונטיים. אין צורך להזכיר את המשפט הכללי. נחי - שיחה 20:02, 30 בינואר 2018 (IST)