תבנית פיסטר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, תבנית פיסטר (Pfister form) היא תבנית ריבועית הנתונה על ידי מכפלת מספר סופי של תבניות בעלות צורה אלכסונית . כך מתקבלת תבנית מממד חזקת 2, שיש לה תפקיד מרכזי בחקר המרחבים הריבועיים והמבנה שלהם.

תבניות פיסטר יוצרות בחוג ויט את האידאלים , ולכן יוצרות את המנות , ומתקשרות דרכן ל-תורת K של חוגים.

תבניות פיסטר יוצרות את אידאל הפיתול בחוג ויט. התבניות מממד נמוך מופיעות גם כנורמות באלגברות הרכבה.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי שדה ממאפיין שאינו 2.

עבור , התבנית הריבועית בעלת הצורה האלכסונית נקראת תבנית פיסטר מסדר ראשון, ומסומנת . תבנית פיסטר מסדר היא מכפלה טנזורית של תבניות מסדר ראשון, כלומר מהצורה , עבור .

התבנית מהצורה היא מרחב היפרבולי.

תכונות ומבנה[עריכת קוד מקור | עריכה]

לתבניות פיסטר תכונות שימושיות רבות, המראות עד כמה חשוב המבנה שלהן.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ראשית, מתקיימת "כמעט אדטיביות", כלומר . תכונה זו מראה כי הדיסקרימיננטה היא הומומורפיזם של חבורות . בפרט, מתקיים ו- לכל .

באופן כללי, תבניות פיסטר מסדר יוצרות (כחבורה אדיטיבית) את האידאלים , משום שכל תבנית מסדר 2 ניתן לכתוב כתבנית פיסטר .

התבנית היא סכום של ריבועים; משפט הורוויץ קובע כי תבנית כאלו הן כפליות אם ורק אם ממדן הוא . בממד 2, כל התבניות הכפליות הן תבניות פיסטר ורק הן.

מבנה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נציג מספר משפטי מפתח חשובים על תבניות פיסטר המובילים למסקנות מעניינות.

משפט - תהי תבנית פיסטר, אז ניתן לכתוב . אז מתקיים אם ורק אם מתקבל כערך של .

כמסקנה מקבלים:

משפט: אם תבנית פיסטר איזוטרופית, אז היא היפרבולית.

המשפט הבא מראה כי אוסף הערכים שמקבלת תבנית פיסטר סגור למכפלה.

משפט - נסמן ב- את אוסף הערכים שהתבנית מקבלת, וב- את החבורה . אם תבנית פיסטר מתקיים .

כמסקנה, נובע כי אם תבנית פיסטר אז סגורה לכפל . תכונה זו נקראת תכונת הכפליות של תבניות פיסטר.

משפט: התכונות הבאות שקולות:

  • היא תבנית פיסטר.
  • לכל הרחבת שדות , אוסף הערכים של התבנית מעל ההרחבה, המסומן , הוא חבורה.
  • .

המשפט הבא נותן מידע על הממד של תבניות.

משפט: הממד של תבנית לא היפרבולית ב- הוא לפחות . אם הוא שווה ל-, התבנית היא בהכרח תבנית פיסטר.

מסקנה:

הקשר לתורת K[עריכת קוד מקור | עריכה]

לתבנית פיסטר קשר הדוק לתורת K.

הן מספקות העתקה , הנתונה על ידי .

לפי השערת מילנור, ההעתקה המהווה אפימורפיזם, ובעלת גרעין , ולכן מתקבל איזומורפיזם , כאשר .

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]