ממד (אלגברה ליניארית)

באלגברה ליניארית, הממד של מרחב וקטורי הוא מספר האיברים בבסיס של המרחב. כלומר, הממד שווה למספר הפרמטרים החופשיים הנחוצים לתאר כל וקטור במרחב.

הגדרה

יהי $V$ מרחב וקטורי מעל שדה $F$עם בסיס $v$ בגודל $n$. המספר $n$ נקרא הממד של $V$ ומסומן: $\dim(V)$.

כשרוצים לציין את התלות בשדה הבסיס מסמנים $\ \dim _{F}(V)$, ולפעמים גם $\ [V\!:\!F]$.

הסבר

הממד מכליל את המספרים המוכרים אינטואיטיבית מן המרחבים האוקלידיים הראשונים: הקו הישר הוא חד-ממדי, המישור דו-ממדי, והמרחב המוגדר לפי אורך, רוחב וגובה הוא תלת-ממדי. כעוצמה של קבוצה, הממד הוא מספר טבעי (לרבות אפס), או עוצמה אינסופית. לממד מהאלגברה הליניארית יש הכללות לתחומים נוספים במתמטיקה.

תכונות

כאשר המרחב הווקטורי נפרש על ידי קבוצה סופית של איברים, הממד שלו מעל שדה נתון, מאפיין אותו באופן מלא:

• כל שני מרחבים וקטוריים בעלי אותו ממד סופי מעל אותו שדה הם איזומורפיים זה לזה.
• המרחב היחיד מממד 0 הוא מרחב האפס, הכולל את וקטור האפס בלבד.
• אם $V$ מרחב וקטורי מממד סופי ו-$U$ תת-מרחב של $V$ ומתקיים $\dim(V)=\dim(U)$ אז $V=U$. כלומר, תת־מרחב מאותו מימד של המרחב המקורי, שווה למימד המקורי.
• הממד של סכום ישר של מרחבים הוא סכום הממדים.
• הממד של המכפלה הטנזורית שווה למכפלת הממדים.
• הממד של מרחב ההעתקות הליניאריות $\operatorname {Hom} (U,V)$ שווה למכפלת הממדים של המרחבים המעורבים.
• הממד של מרחב הווקטורים $F^{n}$ שווה ל-$n$, והממד של אלגברת המטריצות $\operatorname {M} _{n}(F)$ הוא $\ n^{2}$.

משפטים

משפט הממדים קושר את הממד של סכום וחיתוך תת-מרחבים: אם $\ U,U'\subseteq V$, אז $\dim(U+U')=\dim(U)+\dim(U')-\dim(U\cap U')$. זאת בהתאם לעיקרון ההכלה וההדחה.

אם $V$ מרחב וקטורי מעל שדה $K$ שיש לו תת-שדה $F$, אז $K$ מרחב וקטורי מעל $F$, והממדים מקיימים $\dim _{F}(V)=[K\!:\!F]\dim _{K}(V)$. בפרט, אם $\ F\subseteq K\subseteq L$ שדות, אז $\ [L\!:\!F]=[L\!:\!K]\cdot [K\!:\!F]$. עובדה בסיסית זו מאפשרת להסיק מספר תשובות לבעיות מפורסמות של ימי קדם, למשל: אי אפשר לקבל מספרים מסוימים על ידי פעולות של הוצאת שורש ריבועי, וזו הסיבה לכך שלא ניתן לבנות את השורש השלישי של 2, את הזווית בת 20 מעלות, או את השורש השביעי של היחידה.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא ממד בוויקישיתוף

• ד"ר עליזה מלק – הגדרה של בסיס ומימד, סרטון בערוץ "ב"הטכניון מלמדים"", באתר יוטיוב (אורך: 17:04)