נורמה (אלגברה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באלגברה מופשטת, הנורמה של אלגברה A מעל שדה F היא פונקציה כפלית מסוימת, המוגדרת בעזרת הפולינום האופייני של איברים באלגברה. בין הדוגמאות המוכרות ביותר: הפונקציה , שהיא הנורמה של מספרים מרוכבים בהרחבה של המרוכבים מעל הממשיים, והדטרמיננטה, שהיא הנורמה עבור אלגברת המטריצות מעל שדה הבסיס.

בניגוד לנורמה האנליטית, הנורמה האלגברית יכולה במקרים רבים לקבל את הערך 0 גם באיברים שאינם 0.

הגדרה כללית[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם A אלגברה מממד סופי מעל שדה F, אפשר לבחור לה בסיס , ולהתבונן באיבר של האלגברה המתקבלת מהרחבת סקלרים מ- F לשדה הפונקציות . ל- X יש פולינום מינימלי מתוקן הנקרא הפולינום המינימלי הגנרי של A, והמעלה שלו, m, היא הדרגה של האלגברה. המקדם האחרון של הפולינום המינימלי, שהוא פולינום הומוגני ממעלה m במקדמים , הוא הנורמה של אברים מ-A. הנורמה מקיימת את התנאי , ואם אז .

אם מעלת הפולינום המינימלי של איבר שווה לדרגה (וזה כך "כמעט לכל איבר" - ראו טופולוגיית זריצקי), אז אפשר לקרוא את הנורמה מתוך המקדם החופשי של הפולינום המינימלי עצמו (ללא צורך בבניית הפולינום הגנרי). הנורמה של כל מחלק אפס היא אפס.

הנורמה בתורת גלואה[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם הרחבת גלואה של שדות, אפשר לראות ב-K אלגברה מעל השדה F, ולהגדיר עבורו נורמה על-פי ההגדרה הכללית לעיל. נסמן ב- את האיברים בחבורת גלואה של ההרחבה (כאשר n שווה לממד ההרחבה). כל איבר מאפס את הפולינום , שמקדמיו שייכים לשדה השֶבת F, ופולינום זה (עבור a גנרי) הוא הפולינום המינימלי הגנרי של K. מכאן מתקבלת הנוסחה: .

לדוגמה, אם , אז האוטומורפיזם הלא-טריוויאלי מוגדר לפי הנוסחה , ואז הנורמה היא .

את הנוסחה הזו אפשר להכליל לכל מקרה שבו ההרחבה ספרבילית, משום שאז קיים "סגור גלואה" , היינו שדה E המהווה הרחבת גלואה של F. במקרה זה אפשר לבחור אוטומורפיזמים של E המשרים פעולות שונות על K, ולהגדיר את הנורמה באותה צורה.

הנורמה של הרחבות ספרביליות היא טרנזיטיבית, כלומר, אם , אז .

הנורמה בתורת המספרים האלגבריים[עריכת קוד מקור | עריכה]

אפשר להגדיר נורמה של אידאלים בתחום שלמות D, לפי גודלו של חוג המנה . ההגדרה שימושית בעיקר בחוגים שכל המנות שלהם סופיות. ההגדרה מכלילה את הערך המוחלט המקובל במספרים שלמים, משום שהנורמה של האידאל בחוג המספרים השלמים היא . עבור אידאלים ראשיים הנוסחה כפלית בכל תחום שלמות: .

אם הוא חוג השלמים של שדה מספרים K, אז הנורמה היא פונקציה כפלית לכל האידאלים, כלומר, . יתרה מזו, הנורמה מכלילה את זו של אברים שלמים ב-K: . אם הוא אידאל ראשוני של חוג השלמים, ומתקיים עבור ראשוני שלם p, אז , כאשר f הוא "מקדם המימד" של (השווה למימד של מכל ).

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]