תורת הכנף הדקה

תורת הכנף הדקה היא ענף בתורת האווירודינמיקה. היא פישוט לתורת הכנפיים שקושרת את זווית התקיפה לכוח העילוי עבור זרימה לא צמיגה בזורם בלתי-דחיס. היא פותחה על ידי המתמטיקאי הגרמני-אמריקאי מיכאל מקס מונק, ולאחר מכן לוטשה על ידי האווירודינמיקאי הרמן גלאורט ואחרים ב-1920. התאוריה מניחה זרימה אידיאלית, דו-ממדית, סביב כנף דקה. ניתן לדמות את פרופיל הכנף לפרופיל בעל עובי אפס ומוטת כנפיים אינסופית. תורת הכנף הדקה הייתה מאוד מקובלת בעבר משום שסיפקה בסיס תאורטי יציב למאפיינים עיקריים של כנף תחת השפעת זרימה דו-ממדית:

1. בפרופיל כנף סימטרי, מרכז הלחץ והמרכז האווירודינמי ממוקמים בדיוק במרחק רבע מיתר אווירודינמי משפת התקיפה.
2. בפרופיל כנף קמורה, המרכז האווירודינמי ממוקם בדיוק רבע מיתר אווירודינמי משפת התקיפה.
3. השיפוע של מקדם העילוי מול זווית ההתקפה הוא בדיוק $2\pi$ רדיאנים, כלומר ${\frac {\partial C_{L}}{\partial \alpha }}=2\pi$.

המרכז האווירודינמי נמצא במרחק רבע מיתר אווירודינמי משפת התקיפה, בנקודה זו מתקיים

$${\frac {\partial C_{M_{LE}}}{\partial C_{L}}}=0$$

*מרכז הלחץ הוא הנקודה שבה הלחץ מכל הכיוונים זהה

מינוחים - פרופיל אווירודינמי

פרופיל כנף

מרכז אווירודינמי – הנקודה שבה המומנט, שנוצר כתוצאה מהכח האווירודינמי הפועל על הכנף, לא משתנה עקב כח העילוי. המומנט המחושב ביחס לנקודה זו אינו תלוי בזווית ההתקפה.
שפת התקפה - הנקודה הקדמית ביותר של הכנף, הנקודה שפוגשת ראשונה את הזרימה על הכנף.
שפת הזרימה - הנקודה האחורית ביותר של הכנף, הנקודה שבה המשטח העליון והמשטח התחתון נפגשים.
מיתר אווירודינמי - קו ישר משפת התקיפה לשפת הזרימה.
קו העקימון – קו שנמצא במרחק שווה מהמשטח העליון ומהמשטח התחתון של פרופיל הכנף.
קימור מקסימלי - הגובה הגדול ביותר של קו העקימון מהמיתר האווירודינמי.
עובי הפרופיל - המרחק הגדול ביותר בין המשטח העליון והתחתון.
קו אפס-עילוי - הקו שאם הכנף נעה במקביל אליו, לא פועל עליה כח עילוי. עבור פרופיל סימטרי קו זה מתלכד עם המיתר האווירודינמי.
זווית התקפה - הזווית הנוצרת בין הזרימה המציפה את הכנף ובין המיתר האווירודינמי עבור פרופיל כנף סימטרי, ובין קו האפס-עילוי עבור פרופיל קמור.

הנחות התורה

• זרימה דו-ממדית $(w=0,{\frac {\partial }{\partial z}}=0)$
• זרימה בלתי דחיסה + זרימה תמידית (ρ=const)
• צמיגות קבועה (μ=const)
• פרופיל כנף דק

מקדמים אווירודינמיים

בדומה לכל גוף הנע בזורם, ניתן להגדיר את מקדמי הגרר והעילוי של כנף מקדם העילוי

$$C_{L}={\frac {l}{1/2\rho _{\infty }U_{\infty }^{2}c}}$$

מקדם הגרר

$$C_{D}={\frac {d}{1/2\rho _{\infty }U_{\infty }^{2}c}}$$

מקדם המומנט

$$C_{M_{LE}}={\frac {m_{LE}}{1/2\rho _{\infty }U_{\infty }^{2}c^{2}}}$$

l – עילוי ליחידת אורך
d – גרר ליחידת אורך
$m_{LE}$ – המומנט הפועל בשפת התקיפה עקב כוחות העילוי ליחידת אורך
c – אורך המיתר האווירודינמי

דרך נוספת להגדיר את מקדם העילוי היא לפי זווית ההתקפה. עבור פרופיל סימטרי:

$$C_{L}=2\pi \alpha$$

עבור פרופיל קמור:

$$C_{L}=C_{L_{0}}+2\pi \alpha$$

כאשר $C_{L_{0}}$ זה מקדם העילוי כאשר זווית ההתקפה היא אפס.

מידול כנף בעזרת זרימה פוטנציאלית

הכנף ממודלת כקו. קו זה הוא קו העקימון $y_{c}(s)$, שיוצר ערבוליות $\gamma (s)$ לאורך הישר s. תחת הנחת קוטה, הערבוליות בשפת הזרימה היא אפס. מאחר שהכנף דקה, ניתן להשתמש בקואורדינטה x במקום ב-s, וניתן להניח כי כל הזוויות הן זוויות קטנות. מחוק ביו-סבר, ערבוליות זו יוצרת שדה זרימה $w(x)$

$$w(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{c}{\frac {\gamma (\xi )}{(x-\xi )}}d\xi$$

כאשר x היא קואורדינטת המיקום שבו נוצרת המהירות המושרת ו-ξ היא קואורדינטת המיקום של אלמנט הערבוליות היוצר את המהירות. c הוא אורך המיתר האווירודינמי של הכנף. מאחר שאין זרימה בכיוון הניצב למשטח הכנף, $w(x)$ צריך לאזן את המהירות כתוצאה מהמהירות החיצונית $U_{\infty }$.

$$U_{\infty }(\alpha -{\frac {\partial y_{c}}{\partial x}})+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{c}{\frac {\gamma (\xi )}{(x-\xi )}}d\xi =0$$

$U_{\infty }$ – מהירות הזרימה המציפה
α – זווית ההתקפה
$\gamma (\xi )$ – עוצמת הערבול
$y_{c}(x)$ – קו העקימון
${\frac {\partial y_{c}}{\partial x}}$ – זווית קו העמימון

ניתן לפתור את המשוואה ולקבל ביטוי עבור $\gamma (x)$ אם נציב את הקשר הבא

$$x={\frac {c}{2}}(1-cos(\theta ))$$

ולקבל את הפתרון כטור פורייה

$${\frac {\gamma (\theta )}{2U_{\infty }}}=A_{0}{\frac {1+cos(\theta )}{sin(\theta )}}+\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}sin(n\theta )$$

את המקדמים ניתן למצוא ולקבל

$A_{0}=\alpha -{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {dy_{c}}{dx}}d\theta$

$$A_{n}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }cos(n\theta ){\frac {dy_{c}}{dx}}d\theta$$

קיבלנו את $\gamma (\theta )$. כעת נרצה לחשב את הסירקולציה

$$\Gamma =\int _{0}^{c}\gamma (\xi )d\xi ={\frac {c}{2}}\int _{0}^{\pi }\gamma (\theta )sin(\theta )d\theta$$

נציב את הביטוי ל- $\gamma (\theta )$

$$\Gamma ={\frac {cU_{\infty }\pi }{2}}(2A_{0}+A_{1})$$

לפי השערת קוטה-ג'ייקובסקי

$$C_{L}={\frac {l}{1/2\rho _{\infty }U_{\infty }^{2}c}}=2\pi [\alpha +{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\partial y_{c}}{\partial x}}(cos(\theta )-1)d\theta ]$$

מכאן נקבל כי לכל פרופיל כנף מתקיים

$${\frac {\partial C_{L}}{\partial \alpha }}=2\pi$$

ניתן לקבל את הביטוי למקדם העילוי כאשר זווית ההתקפה היא אפס, כלומר שהכנף נעה במקביל למהירות המציפה

$$C_{L}|_{\alpha =0}=2\int _{0}^{\pi }{\frac {\partial y_{c}}{\partial x}}(cos(\theta )-1)d\theta$$

בנוסף, נוכל לקבל את הזווית שבה מקדם העילוי הוא אפס

$$\alpha |_{C_{L}=0}=-{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\partial y_{c}}{\partial x}}(cos(\theta )-1)d\theta$$

מהנחת קוטה-ג'ייקובסקי נקבל את העילוי ליחידת אורך

$$F_{L}=\rho U_{\infty }\int _{0}^{c}\gamma (x)dx$$

חישוב מקדם הגרר תלוי רק במקדמים של שני האיברים הראשונים של הטור

$$C_{L}=2\pi (A_{0}+{\frac {A_{1}}{2}})$$

המומנט שהערבוליות יוצרת על שפת ההתקפה יהיה

$$M_{LE}=\rho U_{\infty }\int _{0}^{c}x\gamma (x)dx$$

המומנט על שפת התקיפה תלוי רק במקדמים של שלושת האיברים הראשונים של הטור

$$C_{M_{LE}}=-{\frac {\pi }{2}}(A_{0}+A_{1}-{\frac {A_{2}}{2}})$$

נחשב את מרכז הלחץ, הנקודה שאם נשים בה את כח העילוי תתן לנו פרופיל מומנט זהה. נדרוש

$${\frac {x_{cp}}{c}}C_{L}+C_{M_{LE}}=0$$

נקבל

$${\frac {x_{cp}}{c}}={\frac {1}{4}}[1+{\frac {\pi }{C_{L}}}(A_{1}-A_{2})]$$

מקדם הגרר על כנף יהיה מורכב מגרר מושרה, הנגרם כתוצאה מהעילוי. ומגרר שיורי, הנוצר בגלל הצורה של הכנף.

$$C_{D}={\frac {C_{L}^{2}}{\pi eA_{r}}}+C_{D_{0}}$$

$$A_{r}={\frac {A}{c}}$$

$C_{D_{0}}$ – גרר שיורי
e – קבוע המתאר את צורת הכנף
$A_{r}$ – כמה הכנף ארוכה ביחס למיתר האווירודינמי

ראו גם

• פרופיל אווירודינמי

לקריאה נוספת

• אתר NASA
  
• כלים לייצור וחיפוש פרופילי כנף