תנאי שרשרת (מתמטיקה)

במתמטיקה ובתורת הקבוצות בפרט, תנאי שרשרת (מאנגלית - Chain Conditions) הם תנאים בדבר סופיות של שרשראות בקבוצות סדורות חלקית. שימושם הנפוץ הוא באלגברה מופשטת, למשל בחוגים ומודולים.

הגדרה

תהי $(S,\leq )$ קבוצה סדורה חלקית.

• נאמר ש-$S$ מקיימת את תנאי השרשרת העולה, אם כל שרשרת ${x}_{1}\leq {x}_{2}\leq ...$ של איברי $S$ היא קבועה לבסוף, כלומר קיים מספר טבעי $n$, כך ש:${x}_{n}={x}_{n+1}={x}_{n+2}=...$.

• נאמר ש-$S$ מקיימת את תנאי השרשרת היורדת, אם כל שרשרת ${x}_{1}\geq {x}_{2}\geq ...$ של איברי $S$ היא קבועה לבסוף.

תנאי שרשרת במבנים אלגבריים

אלגברה מופשטת היא מהתחומים הנפוצים בהם יש שימוש נרחב בתנאי שרשרת.

בהינתן מבנה אלגברי ותתי מבנים מסוימים שלו (למשל - חוג והאידיאלים שלו), נתייחס אל קבוצת תתי המבנים כאל קבוצה סדורה חלקית, עם יחס ההכלה.

תורת החוגים

ערך מורחב – חוג נותרי

• חוג נקרא נותרי אם הוא חילופי ומקיים ACC (תנאי שרשרת עולה - Ascending Chain Condition) על אידיאלים. במקרה זה, ניתן להוכיח כי היותו של חוג נותרי שקולה לתנאי המקסימום על אידיאלים, האומר כי בכל קבוצה לא ריקה של אידיאלים ישנו אידיאל מקסימלי, וגם לכך שכל אידיאל בו נוצר סופית.

ערך מורחב – חוג ארטיני

• חוג נקרא ארטיני אם הוא חילופי ומקיים DCC (תנאי שרשרת יורדת - Descending Chain Condition) על אידיאלים. בדומה לסעיף הקודם, ישנה שקילות בין חוג ארטיני לעקרון המינימום על אידיאלים.

ארטיניות היא דווקא תכונה חזקה יותר מנותריות, על סמך משפט הופקינס-לויצקי, הקובע כי כל חוג ארטיני הוא נותרי.

תורת המודולים

ערך מורחב – מודול נותרי

מודול נקרא נותרי, אם הוא מקיים ACC של תתי מודולים. כמו במקרה של חוגים, תכונה זו שקולה לעקרון המקסימום לתת מודולים ולכך שכל תת-מודול נוצר סופית. למעשה, המסקנות על תורת החוגים הן מקרה פרטי של מקרה זה, שכן כל חוג הוא מודול מעל עצמו, ותתי המודולים הם בדיוק האידיאלים.

טופולוגיה

מרחב טופולוגי ייקרא נתרי אם כל סדרה יורדת בהכלה של קבוצות סגורות מתייצבת לבסוף. הגדרה זו שימושית בגאומטריה אלגברית כיוון שכל יריעה אפינית תחת טופולוגיית זריצקי היא נתרית.

תנאים נוספים

בחוגים ניתן לדבר על תנאי שרשרת גם לסוגים מסוימים של אידיאלים. למשל, נאמר שחוג מקיים ACC Principal, אם הוא מקיים ACC על אידיאלים ראשיים - כלומר כל שרשרת של אידיאלים ראשיים היא קבועה לבסוף.

קישורים חיצוניים

• תנאי שרשרת, באתר MathWorld (באנגלית)