מבנה אלגברי

מבנים אלגבריים שונים. הוספת תכונה מתאימה מצמצת את המחלקה

באלגברה מופשטת, מבנה אלגברי הוא מבנה מתמטי המורכב מקבוצה לא ריקה של אברים, בתוספת של פעולה, או מספר פעולות, המוגדרות על איברים אלו, המקיימות אקסיומות מסוימות. מבנים אלגבריים נבדלים ממבנים מתמטיים אחרים (למשל מרחבים טופולוגיים, קבוצות סדורות ארכימדיות או מרחבי מידה) בכך שאקסיומות המבנה שלהן הן שפה מסדר ראשון המכילה אך ורק פונקציות (ולא יחסים).

מבנים אלגבריים מדגימים את ההפשטה וההכללה שהם נשמת אפה של המתמטיקה. במסגרת הדיון במבנים אלגבריים נלקחים עצמים מתמטיים קונקרטיים, כגון המספרים השלמים או המספרים הממשיים, נבחנות תכונותיהם המופשטות ביותר, ותכונות אלה עוברות הכללה, כך שניתן לבחון באמצעותן מגוון רחב של עצמים מתמטיים שאף להם תכונות אלה. בדרך זו אפשר למקד את תשומת הלב בתכונות המהותיות של העצם שאותו חוקרים, ולקבל תוצאות כלליות שיהיו ישימות גם במקרים אחרים.

כאשר אין חשש לבלבול, המבנה האלגברי מזוהה עם הקבוצה. כך למשל, שבעוד שחבורה מוגדרת בדרך כלל כשלשה סדורה$\left\langle G,\cdot ,e\right\rangle$ החבורה קרויה בפשטות "החבורה $G$". לפעולות המוגדרות במבנה האלגברי קוראים בדרך כלל "כפל" או "חיבור" (כאשר הפעולה חילופית), משום שהאקסיומות כופות עליהן תכונות דומות לאלו של החיבור והכפל הרגילים. עם זאת, לעיתים קרובות האיברים במבנה האלגברי אינם מספרים, וממילא הפעולות אינן הפעולות המספריות הרגילות.

להלן מספר מבנים אלגבריים ידועים:

• מאגמה: קבוצה עם פעולה בינארית יחידה.
• קוואזי-חבורה: מאגמה עם חילוק.
• חבורה למחצה (או אגודה): מאגמה אסוציאטיבית.
• מונואיד: חבורה למחצה עם איבר אדיש לפעולה.
• חבורה: מונואיד שבו לכל איבר יש איבר הופכי.
• חבורה אַבּלִית: חבורה חילופית, כלומר, פעולת הכפל מקיימת $ab=ba$.

מבנים אלגבריים (תחום החבורות)

שם	סגירות	אסוציאטיבייות	איבר יחידה	איבר הופכי	קומוטטביות
מאגמה	כן	לא	לא	לא	לא
קוואזי-חבורה	כן	לא	לא	כן	לא
לולאה	כן	לא	כן	כן	לא
חבורה למחצה	כן	כן	לא	לא	לא
חבורה למחצה הפיכה	כן	כן	לא	כן	לא
מונואיד	כן	כן	כן	לא	לא
חבורה	כן	כן	כן	כן	לא
חבורה אבלית	כן	כן	כן	כן	כן

• חוג: מבנה, שבו מוגדרות שתי פעולות: "חיבור" ו"כפל" (המתפלג ביחס לחיבור), שהוא חבורה אַבּלִית ביחס לחיבור ומונואיד ביחס לכפל.
• שדה: חוג שבו האיברים השונים מהאפס (דהיינו מהאבר האדיש לחיבור) יוצרים חבורה אַבּלִית ביחס לכפל.
• אלגברה בוליאנית: קבוצה עם שתי פעולות בינאריות המקיימת אקסיומות המזכירות את אקסיומות תחשיב הפסוקים.

מבנים אחרים כוללים שני מרכיבים:

• מודול מעל חוג: חבורה אבלית עם פעולת כפל (כפל בסקלר) של אברי החוג באברי המודול.
• מרחב וקטורי מעל שדה: מודול שהחוג מעליו הוא מוגדר הוא שדה.
• אלגברה מעל חוג חלופי: מודול בעל מכפלה ביליניארית (ועל פי המקובל בויקיפדיה העברית, אסוציאטיבית).

לקריאה נוספת

• אברהם אורנשטיין, מבנים אלגבריים, האוניברסיטה הפתוחה, 1987.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מבנה אלגברי בוויקישיתוף

• מבנה אלגברי, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.