תנועת רעדוד

תנועת רעדוד (מגרמנית: Zitterbewegung, "תנועה ברעד") היא תנועה מהירה תאורטית של חלקיקים יסודיים, כגון אלקטרונים, כשהם מקיימים את משוואת דיראק. הקיום של תנועה כזאת הוצע לראשונה על ידי ארווין שרדינגר בשנת 1930 כתוצאה מניתוחיו על פתרונות של משוואת דיראק בצורת חבילת גלים עבור אלקטרונים יחסותיים בחלל חופשי, בה נוצרת התאבכות בין רמות אנרגיה חיוביות ושליליות שיוצרת תנודות (במהירות האור) של מיקום האלקטרון מסביב לחציון, בתדירות זוויתית של כ ${\frac {2mc}{\hbar }}$. בחינה מחדש של התאוריה של דיראק מראה כי התאבכות בין רמות אנרגיה חיוביות ושליליות לא נדרשת כדי להבחין ב-Zitterbewegung.

תנועת רעדוד של חלקיק יחסותי חופשי מעולם לא נצפתה, אך היא סומלצה פעמיים באופן ניסיוני. לראשונה, ביון לכוד, בכך שהיה בסביבה בה למשוואת שרדינגר היחסותית של היון היה אותו ניסוח מתמטי כמו למשוואת דיראק (אף כי המצב הפיזיקלי היה שונה במקצת). לאחר מכן, בשנת 2013, היא סומלצה שוב תוך שימוש בעיבוי בוז איינשטיין.

הסבר תאורטי

משוואת דיראק התלויה בזמן היא:

$H\psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(x,t)$

כאשר $H$ הוא ההמילטוניאן של דיראק לאלקטרון במרחב חופשי:

$H=\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)$

בתמונת הייזנברג, כל אופרטור Q מקיים את המשוואה:

$-i\hbar {\frac {\partial Q}{\partial t}}(t)=\left[H,Q\right]$

ובפרט, התלות בזמן של אופרטור המיקום היא:

$\hbar {\frac {\partial x_{k}}{\partial t}}(t)=i\left[H,x_{k}\right]=\hbar c\alpha _{k}$

כאשר $\alpha _{k}\equiv \gamma _{0}\gamma _{k}$

המשוואה לעיל מראה שהאופרטור $\alpha _{k}$ הוא (עד כדי c) הרכיב ה-k של אופרטור המהירות. ניתן להוסיף את התלות הזמנית לאופרטור הזה באמצעות תמונת הייזנברג:

$\alpha _{k}(t)=e^{\frac {iHt}{\hbar }}\alpha _{k}e^{-{\frac {iHt}{\hbar }}}$

התלות בזמן של אופרטור המהירות ניתנת על ידי:

$\hbar {\frac {\partial \alpha _{k}}{\partial t}}(t)=i\left[H,\alpha _{k}\right]=2(i\gamma _{k}m-\sigma _{kl}p^{l})=2i(p_{k}-\alpha _{k}H)$

כאשר $\sigma _{kl}\equiv {\frac {i}{2}}\left[\gamma _{k},\gamma _{l}\right]$

היות ש $p_{k}$ ו- $H$ תלויים בזמן, ניתן לפתור את המשוואה לעיל באמצעות אינטגרציה כפולה כדי למצוא את שתי התלויות בזמן של אופרטור המקום:

$\alpha _{k}(t)=(\alpha _{k}(0)-cp_{k}H^{-1})e^{-{\frac {2iHt}{\hbar }}}+cp_{k}H^{-1}$

$x_{k}(t)=x_{k}(0)+c^{2}p_{k}H^{-1}t+{\frac {1}{2}}i\hbar cH^{-1}(\alpha _{k}(0)-cp_{k}H^{-1})(e^{-{\frac {2iHt}{\hbar }}}-1)$

משוואה זו מכילה מיקום התחלתי, תנועה הפרופורציונית לזמן, והתנודדות לא צפויה שהאמפליטודה שלה שווה לאורך גל קומפטון. התנודדות זו נקראת Zitterbewegung.

תופעה מעניינת היא שאיבר תנועת הרעדוד נעלם כאשר לוקחים חבילות גלים המורכבות רק מרמות אנרגיה חיוביות (או שליליות). ניתן להסביר זאת באמצעות טרנספורם פולדי וותיסן . כך, ניתן לומר שתנועת הרעדוד נגרמת כתוצאה מההתאבכות בין חבילות הגלים בעלות האנרגיה החיובית ובעלות האנרגיה השלילית.

ראו גם

• אפקט קזימיר
• הסחת לם