אורך דביי

בפלזמה ובאלקטרוליזה אורך דביי (נקרא גם רדיוס דביי), נקרא על-שם הפיזיקאי ההולנדי פטר דביי, הוא מדד לטווח ההשפעה האלקטרוסטטי של נושאי מטען בתמיסה. כדור דביי הוא נפח שרדיוסו הוא אורך דביי, שבתוכו ישנה השפעה, ומחוץ לו המטען מסוכך.

המקור הפיזיקלי

אורך דביי מופיע באופן טבעי בתיאור התרמודינמי של מערכות גדולות של מטענים ניידים. במערכת של $N$ סוגים שונים של מטענים, הסוג ה- $j$ נושא מטען $q_{j}$ והוא בצפיפות $n_{j}(\mathbf {r} )$ במיקום $\mathbf {r}$. על פי מה שנקרא "המודל הפֶּרְמִיטִיבִי", מטענים אלה מפוזרים ברציפות בחומר שמאופיין רק על ידי הפרמיטיביות הסטטית היחסית שלו, $\varepsilon _{r}$. התפלגות זו של מטענים בתוך החומר מייצרת פוטנציאל חשמלי $\Phi (\mathbf {r} )$ שמקיים את משוואת פואסון:

$\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}}}\,\sum _{j=1}^{N}q_{j}\,n_{j}(\mathbf {r} )$,

כאשר $\varepsilon _{0}$ הוא הפרמיטיביות של הוואקום.

המטענים הניידים לא רק מייצרים $\Phi (\mathbf {r} )$ אלא גם נעים בתגובה לכוח קולון $-q_{j}\,\nabla \Phi (\mathbf {r} )$ הנובע מפוטנציאל זה. אם נניח כי המערכת בשיווי משקל תרמודינמי עם אמבט חום בטמפרטורה מוחלטת $T$, אז התפלגות המטענים הבדידים, $n_{j}(\mathbf {r} )$, היא ממוצע על הצבר התרמודינמי.

בהנחות אלה, צפיפות נושאי המטען מהסוג ה-$j$ מתוארת על ידי התפלגות בולצמן,

$n_{j}(\mathbf {r} )=n_{j}^{0}\,\exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{B}T}}\right)$

כאשר $k_{B}$ הוא קבוע בולצמן ו- $n_{j}^{0}$ היא הצפיפות הממוצעת של נושאי מטען $j$.

השוואת הצפיפויות הרגעיות והפוטנציאל במשוואת פואסון עם הממוצע שלהם בהתפלגות בולצמן נותנת את משוואת פואסון-בולצמן:

$\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}}}\,\sum _{j=1}^{N}q_{j}n_{j}^{0}\,\exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{B}T}}\right)$.

פתרונות למשוואה לא ליניארית זו קיימים לכמה מערכות פשוטות. פתרונות למערכות כלליות יותר, ניתן לקבל בגבול של טמפרטורות גבוהות (צימוד חלש), $q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )\ll k_{B}T$, על ידי פיתוח טיילור:

$\exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{B}T}}\right)\approx 1-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{B}T}}$

קירוב זה נותן את משוואת פואסון-בולצמן הליניארית

$\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=\left(\sum _{j=1}^{N}{\frac {n_{j}^{0}\,q_{j}^{2}}{\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}\,k_{B}T}}\right)\,\Phi (\mathbf {r} )-{\frac {1}{\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}}}\,\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}q_{j}$

אשר ידועה גם כמשוואת דביי-האקל.