אינטגרל פרנל

במתמטיקה, אינטגרלי פרנל, הם שתי פונקציות טרנסצנדטליות הנקראות על שם אוגוסטן ז'אן פרנל, אשר השתמש בהם למחקר באופטיקה. הפונקציות הללו קרובות לפונקציית השגיאה, ומוגדרות כך:

S(x)=\int _{0}^{x}\sin(t^{2})\,\mathrm {d} t,\quad C(x)=\int _{0}^{x}\cos(t^{2})\,\mathrm {d} t.

הפונקציות הם גם הייצוג הפרמטרי של ספירלת אוילר, מכיוון שניתן להגדיר את הספירלה על ידי כאוסף הנקודות (x,y) כך שעבור t מסוים, מתקיים (x, y) = (C(t), S(t)).

מאפיינים

הפונקציות הם פונקציות אי זוגיות.
ניתן לראות שככל ש- $x\to \infty$ אז ניתן להגדיר את הפונקציות בצורה אסימפטוטית בדרך הבאה:

S(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {{\mbox{sign}}{(x)}}{2}}-\left[1+O(x^{-4})\right]\left({\frac {\cos {(x^{2})}}{x{\sqrt {2\pi }}}}+{\frac {\sin {(x^{2})}}{x^{3}{\sqrt {8\pi }}}}\right)\right),

C(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {{\mbox{sign}}{(x)}}{2}}+\left[1+O(x^{-4})\right]\left({\frac {\sin {(x^{2})}}{x{\sqrt {2\pi }}}}-{\frac {\cos {(x^{2})}}{x^{3}{\sqrt {8\pi }}}}\right)\right).

ניתן להגדיר את הפונקציות על ידי טור אינסופי ואף להכליל אותם עבור ערכים מרוכבים וניתן להגדיר את הכללתם על ידי פונקציית השגיאה. ההכללה של הפונקציות הופכת אותם לפונקציות אנליטיות ושלמות בכל המישור, דבר שנעשה בדרך הבאה:

S(x)=\int _{0}^{x}\sin(t^{2})\,\mathrm {d} t=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)}}

C(x)=\int _{0}^{x}\cos(t^{2})\,\mathrm {d} t=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}}

S(z)={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {1+i}{4}}\left[\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right)-i\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right)\right],

C(z)={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {1-i}{4}}\left[\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right)+i\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right)\right].

C(z)+iS(z)={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {1+i}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right),

S(z)+iC(z)={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {1+i}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right).

הפונקציות מתכנסות בתנאי בתחום הלא-שלילי של מישר הממשי.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא אינטגרל פרנל בוויקישיתוף

אינטגרל פרנל, באתר MathWorld (באנגלית)

	ערך מחפש מקורות
	רובו של ערך זה אינו כולל מקורות או הערות שוליים, וככל הנראה, הקיימים אינם מספקים. אנא עזרו לשפר את אמינות הערך באמצעות הבאת מקורות לדברים ושילובם בגוף הערך בצורת קישורים חיצוניים והערות שוליים. אם אתם סבורים כי ניתן להסיר את התבנית, ניתן לציין זאת בדף השיחה.