פונקציית השגיאה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
פונקציית השגיאה
טבלת ערכים
x erf(x) erfc(x) x erf(x) erfc(x)
0.00 0.0000000 1.0000000 1.30 0.9340079 0.0659921
0.05 0.0563720 0.9436280 1.40 0.9522851 0.0477149
0.10 0.1124629 0.8875371 1.50 0.9661051 0.0338949
0.15 0.1679960 0.8320040 1.60 0.9763484 0.0236516
0.20 0.2227026 0.7772974 1.70 0.9837905 0.0162095
0.25 0.2763264 0.7236736 1.80 0.9890905 0.0109095
0.30 0.3286268 0.6713732 1.90 0.9927904 0.0072096
0.35 0.3793821 0.6206179 2.00 0.9953223 0.0046777
0.40 0.4283924 0.5716076 2.10 0.9970205 0.0029795
0.45 0.4754817 0.5245183 2.20 0.9981372 0.0018628
0.50 0.5204999 0.4795001 2.30 0.9988568 0.0011432
0.55 0.5633234 0.4366766 2.40 0.9993115 0.0006885
0.60 0.6038561 0.3961439 2.50 0.9995930 0.0004070
0.65 0.6420293 0.3579707 2.60 0.9997640 0.0002360
0.70 0.6778012 0.3221988 2.70 0.9998657 0.0001343
0.75 0.7111556 0.2888444 2.80 0.9999250 0.0000750
0.80 0.7421010 0.2578990 2.90 0.9999589 0.0000411
0.85 0.7706681 0.2293319 3.00 0.9999779 0.0000221
0.90 0.7969082 0.2030918 3.10 0.9999884 0.0000116
0.95 0.8208908 0.1791092 3.20 0.9999940 0.0000060
1.00 0.8427008 0.1572992 3.30 0.9999969 0.0000031
1.10 0.8802051 0.1197949 3.40 0.9999985 0.0000015
1.20 0.9103140 0.0896860 3.50 0.9999993 0.0000007

פונקציית השגיאהאנגלית: Error Function) היא פונקציה שאינה אלמנטרית המופיעה בהסתברות, סטטיסטיקה, משוואות דיפרנציאליות חלקיות והנדסת חומרים. פונקציית השגיאה מסומנת \operatorname{erf}(x) ומוגדרת:

\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}\,\mathrm dt

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

פונקציית השגיאה היא פונקציה אי-זוגית השואפת ל-1 כאשר x\to\infty, ול-1- כאשר x\to-\infty (תוצאה מוכרת של אינטגרל גאוסיאני).

פונקציית השגיאה איננה פונקציה אלמנטרית (תוצאה שהוכיח ז'וזף ליוביל), כלומר לא ניתן לבנות אותה על ידי פעולות האריתמטיקה הבסיסיות והרכבה של פולינומים, פונקציית האקספוננט והפונקציות הטריגונומטריות, והפונקציות ההופכיות להן.

טור טיילור של פונקציית השגיאה הוא:\operatorname{erf}(x)= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{n! (2n+1)} =\frac{2}{\sqrt{\pi}} \left(x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{10}-\frac{x^7}{42}+\frac{x^9}{216}-\ \cdots\right)

הנגזרת של פונקציית השגיאה היא: \frac{\rm d}{{\rm d}x}\,\mathrm{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\,e^{-x^2}

האינטגרל הלא מסוים שלה הוא: x\,\operatorname{erf}(x) + \frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}}

פונקציית השגיאה המשלימה מסומנת erfc ומוגדרת:

\operatorname{erfc}(x) = 1-\mbox{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_x^{\infty} e^{-t^2}\,\mathrm dt

פונקציית שגיאה מרוכבת (או פונקציית שגיאה מדומה), המסומנת כ־erfi, מוגדרת להיות:

\begin{align}
             \operatorname{erfi}(x) & = -i\operatorname{erf}(ix) \\
                                    & = \frac{2}{\sqrt\pi} \int_0^x e^{t^2}\,\mathrm dt \\
                                    & = \frac{2}{\sqrt{\pi}} e^{x^2} D(x),
       \end{align}

כאשר \operatorname{D}(x) היא פונקציית דוסון (Dawson function, אשר יכולה להחליף את erfi כדי למנוע גלישה אריתמטית).

למרות שמה, "פונקציית השגיאה המרוכבת", \operatorname{erfi}(x) מחזירה ערכים ממשיים כאשר x ממשי.


שימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

פונקציית השגיאה מתארת את ההסתברות שמשתנה אקראי בעל התפלגות נורמלית יקבל ערך שמרחקו מהתוחלת קטן מערך פונקציית השגיאה:

\operatorname{erf}\left(\frac{x}{\sigma \sqrt{2}}\right) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \int_{\mu-x}^{\mu+x} e^{\frac{-(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}\,\mathrm dt

ניתן לתאר את פונקציית ההתפלגות המצטברת של התפלגות נורמלית בעזרת פונקציית השגיאה:

\Phi(x) = \frac12 \left(1 + \mathrm{erf}\,\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt2}\right) \!

פונקציית השגיאה מופיעה בפתרון משוואות דיפרנציאליות חלקיות כמו משוואת הדיפוזיה.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]