מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
במתמטיקה , הלמה של איטו היא למה המשמשת לחישוב הדיפרנציאל של תהליך סטוכסטי מסוג איטו. ללמה של איטו שימושים רבים, למשל בחישובים הכרוכים במערכות פיזיקליות בהן מתבצעת תנועה בראונית , ובשוק ההון בתמחור אופציות לפי מודל בלק ושולס . נקראת על שם המתמטיקאי היפני קיושי איטו .
בצורתה הבסיסית ביותר עוסקת הלמה של איטו בתהליכים סטוכסטיים המכונים "תהליכי איטו", בעלי מבנה של משוואה דיפרנציאלית סטוכסטית מהסוג:
d
X
t
=
σ
t
d
B
t
+
μ
t
d
t
{\displaystyle dX_{t}=\sigma _{t}\,dB_{t}+\mu _{t}\,dt}
כאשר
σ
t
{\displaystyle \sigma _{t}\,}
ו-
μ
t
{\displaystyle \mu _{t}\,}
הם משתנים התלויים פונקציונלית בזמן, המייצגים בדרך כלל את התוחלת וסטיית התקן של המשתנה המקרי
X
{\displaystyle \ X}
, ו-
B
t
{\displaystyle \ B_{t}}
מסמל תהליך בראוני סטנדרטי (המוכר גם בשם תהליך וינר ).
הלמה קובעת שאם
f
:
[
a
,
b
]
×
R
→
R
{\displaystyle \ f:[a,b]\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
היא פונקציה גזירה ברציפות פעמיים
(
C
2
)
{\displaystyle \ \left(C^{2}\right)}
אזי הדיפרנציאל הסטוכסטי של
f
(
X
t
)
{\displaystyle \ f(X_{t})}
קיים (ומהווה גם הוא תהליך איטו) ומתקיים:
d
f
(
X
t
)
=
f
′
(
X
t
)
d
X
t
+
1
2
f
′
′
(
X
t
)
σ
t
2
d
t
=
f
′
(
X
t
)
σ
t
d
B
t
+
(
f
′
(
X
t
)
μ
t
+
1
2
f
′
′
(
X
t
)
σ
t
2
)
d
t
.
{\displaystyle {\begin{aligned}df(X_{t})&=f^{\prime }(X_{t})\,dX_{t}+{\frac {1}{2}}f^{\prime \prime }(X_{t})\sigma _{t}^{2}\,dt\\&=f^{\prime }(X_{t})\sigma _{t}\,dB_{t}+\left(f^{\prime }(X_{t})\mu _{t}+{\frac {1}{2}}f^{\prime \prime }(X_{t})\sigma _{t}^{2}\right)\,dt.\end{aligned}}}
כאשר f היא פונקציה גם של X וגם של t, הנוסחא המלאה (הדו-ממדית) היא:
d
f
(
t
,
X
t
)
=
(
∂
f
∂
t
+
μ
t
∂
f
∂
x
+
1
2
σ
t
2
∂
2
f
∂
x
2
)
d
t
+
σ
t
∂
f
∂
x
d
B
t
{\displaystyle df(t,X_{t})=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\mu _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}\sigma _{t}^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+\sigma _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dB_{t}}