משפט פוביני

משפט פוביני (נקרא לעתים: משפט פוביני־טונלי) מספק נוסחה לחישוב של אינטגרל רב-ממדי של פונקציות, תחת תנאים מסוימים. את המשפט הוכיח גואידו פוביני בשנת 1907 עבור פונקציות אינטגרביליות, והוא הוכח גם בידי לאונידה טונלי בשנת 1909 עבור פונקציות אי-שליליות.

הגרסה הנפוצה של המשפט עוסקת באינטגרציה של פונקציות אינטגרביליות רימן מהצורה $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$, אולם גרסה זו היא מקרה פרטי של משפט כללי יותר העוסק באינטגרציה של פונקציות אינטגרביליות לבג מהצורה $f:X\times Y\to \mathbb {C}$, כאשר $X,Y$ מרחבי מידה.

נוסח פורמלי

פונקציות ממשיות

תהי $f:A\times B\to \mathbb {R}$ פונקציה אינטגרבילית רימן, כאשר $A,B\subset \mathbb {R} ^{2}$ קבוצות סגורות.

נגדיר פונקציה $f_{x}:A\to \mathbb {R}$ על ידי $f_{x}(y)=f(x,y)$ (פונקציה של המשתנה השני).

אזי $f_{x}$ אינטגרביליות רימן, ומתקיים השוויון:

$\int _{A\times B}f(x,y)d(x,y)=\int _{A}\left(\int _{B}f_{x}(y)dy\right)dx$

באופן סימטרי ניתן גם להגדיר פונקציה $f_{y}$ מתאימה, גם היא אינטגרבילית רימן, ומתקיים השוויון:

$\int _{A\times B}f(x,y)d(x,y)=\int _{B}\left(\int _{A}f_{y}(x)dx\right)dy$

פונקציות כלליות

יהיו $\left(X,{\mathcal {M}},\mu \right),\left(Y,{\mathcal {N}},\nu \right)$ זוג מרחבי מידה סיגמא־סופיים.

תהי $f:X\times Y\to \mathbb {C}$ פונקציה אינטגרבילית לבג ביחס למרחב המכפלה $\left(X\times Y,{\mathcal {M}}\otimes {\mathcal {N}},\mu \times \nu \right)$.

נגדיר פונקציה $f_{x}:Y\to \mathbb {C}$ על ידי $f_{x}(y)=f(x,y)$.

אזי $f_{x}$ אינטגרבילית לבג, ומתקיים השוויון:

$\int _{X\times Y}fd\left(\mu \times \nu \right)=\int _{X}\left(\int _{Y}f_{x}d\nu \right)d\mu$

באופן סימטרי ניתן גם להגדיר פונקציה $f_{y}$ מתאימה, גם היא אינטגרבילית לבג, ומתקיים השוויון:

$\int _{X\times Y}fd\left(\mu \times \nu \right)=\int _{Y}\left(\int _{X}f_{y}d\mu \right)d\nu$

הכרחיות התנאים

המשפט מתייחס לפונקציות אינטגרביליות לבג בלבד, וכן נוספה הדרישה כי המרחבים יהיו סיגמא-סופיים. להלן שתי דוגמאות נגדיות המבהירות מדוע דרישות אלו הכרחיות.

דוגמה שממחישה את הכרחיות הדרישה שהפונקציה תהיה אינטגרבילית, היא מרחב המידה $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ עם הסיגמא-אלגברה $2^{\mathbb {N} }\otimes 2^{\mathbb {N} }$ ביחס למידת המניה (כלומר המידה של קבוצת מספרים היא העוצמה שלה). נתבונן בפונקציה:

$f(n,m)={\begin{cases}1&m=n\\-1&m=n+1\\0&{\text{ otherwise}}\end{cases}}$

פונקציה זו אינה איטגרבילית, שכן ביחס לעותק הראשון של המרחב האינטגרל הוא $\infty$, וביחס לעותק השני של המרחב האינטגרל הוא $-\infty$. כמו כן, לא קשה לראות שאינטגרציה תחילה לפי העותק הראשון היא סכימה של $(1-1)+(1-1)+...$ ולכן האינטגרל הוא אפס, ולעומת זאת אינטגרציה תחילה לפי העותק השני היא סכימה של $1+(1-1)+(1-1)+...$, ולכן האינטגרל הוא אחד. כלומר סדר האינטגרציה משנה את ערך האינטגרל.

דוגמה שממחישה את הכרחיות הדרישה שהמרחבים יהיו סיגמא־סופיים, היא מרחב המידה $[0,1]\times [0,1]$, כאשר העותק הראשון מצויד בסיגמא־אלגברת בורל ומידת לבג והעותק השני מצויד בסיגמא־אלגברה $2^{\mathbb {N} }$ ומידת המניה (כלומר המידה של קבוצת מספרים היא העוצמה שלה). ברור שהעותק השני אינו מרחב סיגמא־סופי.

לא קשה לראות שבמרחב זה, קבוצת האלכסון $\{(x,x)|x\in [0,1]\}$ היא בעלת מידה אפס אם מבצעים אינטגרציה תחילה לפי העותק הראשון, ולעומת זאת היא בעלת מידה 1 אם מבצעים אינטגרציה תחילה לפי העותק השני.