אינטגרל רימן

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
האינטגרל כשטח של אזור תחת עקומה.
רצף של סכומי רימן עבור חלוקות משתנות של מרווחים. המספר מעלה הוא השטח הכולל של המלבנים, שמתכנס לאינטגרל של הפונקציה.
החלוקה של הקטעים אינה צריכה להיות אחידה, כפי שמוצג כאן. הקירוב תקף כל עוד רוחב של כל חלוקה שואף לאפס.

כאנליזה ממשית, אינטגרל רימן, שנוצר על ידי ברנהרד רימן, היה ההגדרה הראשונית של אינטגרל כפונקציה של קטע. רעיון הוצג בפני הפקולטה באוניברסיטת גטינגן בשנת 1854, אך לא פורסם בכתב עת עד שנת 1868.[1] עבור פונקציות רבות ויישומים פרקטיים, ניתן להעריך את אינטגרל רימן על ידי המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי או לבצע קירוב באמצעות שיטות נומריות.

אינטגרל רימן אינו מתאים להרבה שימושים תאורטיים. קיימת שיטה מקבילה, בעלת דיוקים טכניים שמגשרת מעל החסרונות הטכניים באינטגרציה של רימן בעזרת אינטגרל של רימן –סטילטג'ס, ורובם נעלמים בשיטת אינטגרל לבג, אף על פי שלאחרון אין טיפול מספק באינטגרלים בלתי-מסוימים. אינטגרל הנסטוק הוא הכללה של אינטגרל לבג שדומה יותר לאינטגרל רימן. תיאוריות כלליות יותר מאפשרות טיפול בפונקציות "משוננות" יותר או "מתנודדות מאוד" מה שאינטגרל רימן אינו מספק; אך התיאוריות נותנות ערך זהה לאינטגרל של רימן כאשר הוא קיים.

סקירה כללית[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי פונקציה אי-שלילית בעלת ערך ממשי בקטע , ויהי

האזור מתחת לגרף הפונקציה ומעל המרווח (ראו את האיור בצד ימין למעלה). אנו מעוניינים למדוד את שטח . לאחר שנמדוד את השטח, נסמנו על ידי:

הרעיון הבסיסי השיטת של רימן הוא להשתמש בקירובים פשוטים מאוד לאזור על ידי קירובים מלבניים שקטנים לפי החלוקה, אנו יכולים לומר כי "בגבול" (כאשר מספר המלבנים שאנו מודדים גדל לאינסוף) אנו מקבלים בדיוק את שטח מתחת לגרף.

נבחין כי יכול להיות חיובי ושלילי כאחד, ההגדרה של משתנה כך שהאינטגרל תואם את האזור התחום מתחת לגרף של  : כלומר, האזור שמעל ציר מינוס השטח שמתחת לציר . ניתן להסתכל על האינטגרל אם כן כדרך חישוב ל"שטח עם סימן".

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

חלוקה של קטע[עריכת קוד מקור | עריכה]

חלוקה של קטע היא רצף סופי של מספרים מהצורה

כל נקרא תת-קטע של החלוקה. האורך או הנורמה של קטע מוגדר כאורכו של התת-קטע הארוך ביותר, כלומר

סכום רימן[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי פונקציה ממשית על הקטע . סכום רימן של ביחס לחלוקה המיוצגת על יחד עם בחירת נקודות כאשר הוא [2]

כל איבר בסכום הוא מכפלת הערך של הפונקציה בנקודה נתונה עם אורך הקטע בה היא נמצאת. כתוצאה מכך, כל איבר מייצג את האזור של מלבן בעל גובה ורוחב . סכום רימן הוא סכום של כל המלבנים.

מושגים הקשורים זה לזה הם סכומי דרבו התחתונים והעליונים. אלה דומים לסכומי רימן, אך ערך הפונקציה בנקודה מוחלף על ידי אינפימום וסופרמום (בהתאמה) של בכל תת-קטע:

אם רציפה, סכומי הדרבו התחתונים והעליונים עבור חלוקה לא מסומנת שווים לסכום רימן עבור אותה חלוקה.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא אינטגרל רימן בוויקישיתוף

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ The Riemann integral was introduced in Bernhard Riemann's paper "Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe" (On the representability of a function by a trigonometric series; i.e., when can a function be represented by a trigonometric series). This paper was submitted to the University of Göttingen in 1854 as Riemann's Habilitationsschrift (qualification to become an instructor). It was published in 1868 in Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (Proceedings of the Royal Philosophical Society at Göttingen), vol. 13, pages 87-132. (Available online here.) For Riemann's definition of his integral, see section 4, "Über den Begriff eines bestimmten Integrals und den Umfang seiner Gültigkeit" (On the concept of a definite integral and the extent of its validity), pages 101–103.
  2. ^ Krantz, Steven G. (1991). Real Analysis and Foundations. CRC Press. עמ' 173.