קבוצה סגורה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, קבוצה סגורה היא קבוצה שמכילה את השפה שלה, כלומר שכל הנקודות ש"צמודות לה" שייכות לה. זוהי המשמעות האינטואיטיבית ביותר של המושג, אך משמעותו האמיתית תלויה בהקשר המדויק שבו משתמשים בו. דוגמה לקבוצה סגורה היא הקטע [0,1] שעל הישר הממשי, אשר כולל את כל הנקודות בין 0 ל-1, ואת השפה שהיא 0 ו-1, ולכן הוא סגור.

באנליזה, כאשר עוסקים במרחב האוקלידי ה-n ממדי, קבוצה U היא סגורה אם היא מכילה את כל נקודות ההצטברות שלה. הגדרה זו תקפה גם עבור מרחב מטרי כלשהו.

ניתן גם להגדיר קבוצה סגורה בעזרת שימוש במושג הסגור: קבוצה סגורה היא קבוצה ששווה לסגור שלה.

במרחב טופולוגי כללי לא מוגדר בהכרח מושג המרחק, ולכן לא ניתן להגדיר קבוצות סגורות באמצעותו. לכן מגדירים קבוצה סגורה בתור קבוצה שהמשלים שלה הוא קבוצה פתוחה. נשים לב כי במרחבים מטריים כלליים העובדה שקבוצה שמשלימתה סגורה היא קבוצה פתוחה נכונה תמיד, ניתן להוכיח זאת מתכונות המרחב, ולכן הגדרה זו מהווה הכללה של מושג הקבוצה הסגורה.

קבוצה יכולה להיות גם פתוחה וגם סגורה. לדוגמה, בכל מרחב טופולוגי, הקבוצה הריקה וכן המרחב כולו הן קבוצות שגם פתוחות וגם סגורות. מרחב טופולוגי הוא קשיר אם ורק אם אלו הקבוצות היחידות שגם פתוחות וגם סגורות.

ניתן גם להשתמש בקבוצה הסגורה בתור מושג היסוד שעליו נבנית הטופולוגיה של המרחב - עבור קבוצת אברי המרחב בוחרים משפחה של קבוצות חלקיות לה שמקיימות מספר תכונות מיוחדות (המתקיימות לקבוצות סגורות במובן המטרי) ומגדירים אותן "קבוצות סגורות". מהגדרה זו ינבעו כל הקבוצות הפתוחות שבמרחב, ועל כן דרך הגדרה זו אינה שונה מהגדרת טופולוגיה באמצעות קבוצות פתוחות. התכונות הבסיסיות של קבוצות סגורות הן שחיתוך כלשהו של קבוצות סגורות הוא קבוצה סגורה ואיחוד סופי של קבוצות סגורות הוא קבוצה סגורה. איחוד אינסופי של קבוצות סגורות אינו בהכרח סגור.