מרחב מנה (אלגברה ליניארית) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 3: | שורה 3: | ||
==הגדרה== |
==הגדרה== |
||
יהא <math>V</math> [[מרחב וקטורי]] מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] <math>\mathbb{F}</math>, ויהי <math>W</math> תת-מרחב שלו. נגדיר [[יחס שקילות]] על ידי <math>v \sim |
יהא <math>V</math> [[מרחב וקטורי]] מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] <math>\mathbb{F}</math>, ויהי <math>W</math> תת-מרחב שלו. נגדיר [[יחס שקילות]] על ידי <math>v \sim u \Leftrightarrow v-u \in W</math> עבור כל <math>v,u \in V</math>. לא קשה להיווכח כי זה אכן יחס שקילות. |
||
נסמן את מחלקת השקילות של וקטור <math>v \in V</math> להיות <math>\left[v\right] = \left\{u \in V \mid u \sim v \right\}</math>, ונתבונן באוסף מחלקות השקילות הללו, שנסמן <math>V/W</math>. |
נסמן את מחלקת השקילות של וקטור <math>v \in V</math> להיות <math>\left[v\right] = \left\{u \in V \mid u \sim v \right\}</math>, ונתבונן באוסף מחלקות השקילות הללו, שנסמן <math>V/W</math>. ניתן להגדיר באופן טבעי על <math>V/W</math> מבנה של מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math>, על ידי פעולת חיבור <math>\left[v\right]+\left[u\right] = \left[v+u\right]</math> וכפל בסקלר <math>\lambda \cdot \left[v\right] = \left[\lambda \cdot v \right]</math>. |
||
ניתן להגדיר באופן טבעי על <math>V/W</math> מבנה של מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math>, על ידי פעולת חיבור <math>\left[v\right]+\left[u\right] = \left[v+u\right]</math> וכפל בסקלר <math>\lambda \cdot \left[v\right] = \left[\lambda \cdot v \right]</math>. |
|||
ניתן להראות כי אם <math>V</math> מרחב וקטורי מממד סופי, אז <math>\dim\left(V/W\right) = \dim \left(V\right) - \dim \left(W\right)</math>. |
ניתן להראות כי אם <math>V</math> מרחב וקטורי מממד סופי, אז <math>\dim\left(V/W\right) = \dim \left(V\right) - \dim \left(W\right)</math>. |
גרסה מ־13:57, 24 באוגוסט 2016
באלגברה לינארית, מרחב מנה של מרחב וקטורי המתקבל מתת-מרחב , הוא מרחב וקטורי המתקבל כתוצאה מ"דחיסת" ל-0. המרחב המתקבל בצורה זו מסומן . הגדרה זו יצר פאול הלמוס בשנת 1947 בספרו "Finite dimensional vector spaces".
הגדרה
יהא מרחב וקטורי מעל שדה , ויהי תת-מרחב שלו. נגדיר יחס שקילות על ידי עבור כל . לא קשה להיווכח כי זה אכן יחס שקילות.
נסמן את מחלקת השקילות של וקטור להיות , ונתבונן באוסף מחלקות השקילות הללו, שנסמן . ניתן להגדיר באופן טבעי על מבנה של מרחב וקטורי מעל , על ידי פעולת חיבור וכפל בסקלר .
ניתן להראות כי אם מרחב וקטורי מממד סופי, אז .
דוגמאות למרחב מנה
- אם נתבונן במרחב הווקטורי ובתת המרחב (הישר העובר בראשית בשיפוע 1), מרחב המנה שיתקבל הוא אוסף כל הישרים בשיפוע 1 ב-, ומרחב זה איזומורפי באופן טבעי למרחב .
- באופן כללי יותר, אם נתבונן במרחב הווקטורי ובתת מרחב שלו לאיזה המשוכן בו באופן טבעי, אז נקבל כי מרחב המנה איזומורפי באופן טבעי למרחב .
- באופן עוד יותר כללי, אם , אז מרחב המנה איזומורפי באופן טבעי למרחב .
- יהי מרחב מידה. נקבע כלשהו, ויהי אוסף הפונקציות המדידות מהצורה או , המקיימות . מאי-שוויון מינקובסקי נובע כי מקיימת את אי-שוויון המשולש, ולכן היא סמי-נורמה של . כדי להפוך את לנורמה, התכונה החסרה היא כי . כדי לתקן זאת, ניתן להתבונן בתת המרחב (נשים לב כי מרחב זה אינו תלוי ב-), ונקבל כי על המרחב , מתקבלת על ידי נורמה טבעית.