מרחב מנה (אלגברה ליניארית)

באלגברה לינארית, מרחב מנה של מרחב וקטורי $V$ המתקבל מתת-מרחב $W$, הוא מרחב וקטורי המתקבל כתוצאה מ"דחיסת" $W$ ל-0. המרחב המתקבל בצורה זו מסומן $V/W$. הגדרה זו יצר פאול הלמוס בשנת 1947 בספרו "Finite dimensional vector spaces".

הגדרה

יהא $V$ מרחב וקטורי מעל שדה $\mathbb {F}$, ויהי $W$ תת-מרחב שלו. נגדיר יחס שקילות על ידי $v\sim u\Leftrightarrow v-u\in W$ עבור כל $v,u\in V$. לא קשה להיווכח כי זה אכן יחס שקילות.

נסמן את מחלקת השקילות של וקטור $v\in V$ להיות $\left[v\right]=\left\{u\in V\mid u\sim v\right\}$, ונתבונן באוסף מחלקות השקילות הללו, שנסמן $V/W$. ניתן להגדיר באופן טבעי על $V/W$ מבנה של מרחב וקטורי מעל $\mathbb {F}$, על ידי פעולת חיבור $\left[v\right]+\left[u\right]=\left[v+u\right]$ וכפל בסקלר $\lambda \cdot \left[v\right]=\left[\lambda \cdot v\right]$.

ניתן להראות כי אם $V$ מרחב וקטורי מממד סופי, אז $\dim \left(V/W\right)=\dim \left(V\right)-\dim \left(W\right)$.

דוגמאות למרחב מנה

• אם נתבונן במרחב הווקטורי $V=\mathbb {R} ^{2}$ ובתת המרחב $W=\left\{\left(x,y\right)\mid x=y\right\}$ (הישר העובר בראשית בשיפוע 1), מרחב המנה שיתקבל $V/W$ הוא אוסף כל הישרים בשיפוע 1 ב-$\mathbb {R} ^{2}$, ומרחב זה איזומורפי באופן טבעי למרחב $\mathbb {R}$.
• באופן כללי יותר, אם נתבונן במרחב הווקטורי $\mathbb {R} ^{n}$ ובתת מרחב שלו $\mathbb {R} ^{m}$ לאיזה $m<n$ המשוכן בו באופן טבעי, אז נקבל כי מרחב המנה $\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {R} ^{m}$ איזומורפי באופן טבעי למרחב $\mathbb {R} ^{n-m}$.
• באופן עוד יותר כללי, אם $V=W\oplus U$, אז מרחב המנה $V/U$ איזומורפי באופן טבעי למרחב $W$.

• יהי $\left(X,{\mathcal {F}},\mu \right)$ מרחב מידה. נקבע $1\leq p<\infty$ כלשהו, ויהי $L^{p}$ אוסף הפונקציות המדידות מהצורה $X\to \mathbb {R}$ או $X\to \mathbb {C}$, המקיימות $\|f\|_{p}\equiv \left(\int _{X}|f|^{p}\;\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}<\infty$. מאי-שוויון מינקובסקי נובע כי $\|\|_{p}$ מקיימת את אי-שוויון המשולש, ולכן היא סמי-נורמה של $L^{p}$. כדי להפוך את $\|\|_{p}$ לנורמה, התכונה החסרה היא כי $f\neq g\Longrightarrow \|f-g\|_{p}\neq 0$. כדי לתקן זאת, ניתן להתבונן בתת-המרחב $W=\ker \|\|_{p}=\left\{f\in L^{p}\mid \|f\|_{p}=0\right\}$ (נשים לב כי מרחב זה אינו תלוי ב-$p$), ונקבל כי על המרחב $L^{p}/W$, מתקבלת על ידי $\|\|_{p}$ נורמה טבעית.