שיחה:שלשה פיתגורית

אני מכיר את הביטוי "שלשה פיתגורית" ולא "שלשה פיתגוראית". --נריה הרואה 12:37, 6 מאי 2005 (UTC)

הועתק מדלפק היעוץ:

מה עדיף שלשה פיתגוראית או פיתגורית? שני הניסוחים מופיעים (ואפילו באותו ערך עצמו). תודה. אבינעם 06:54, 26 אפר' 2005 (UTC)

פיתגוראית, לדעתי. יובל מדר

פניתי לאקדמיה ללשון וקיבלתי את התשובה הבאה:

לפי המקובל בגזירת שמות תואר ממילים לועזיות (ובכללן שמות פרטיים) הגזירה היא על פי שם התואר בלועזית. על כן סביר ששם התואר במקרה זה יהיה פיתגוריאני (או פיתגורייני), והשווה פרוידיאני וכיוצא בו.

אבינעם 21:59, 4 מאי 2005 (UTC)

בגוגל 8 פעמים "שלשה פיתגוראית", 22 פעם "שלשה פיתגורית", ו"פיתגוריאנית" בכלל לא קיים. מכיוון שאף צורה אינה שגויה נראה לי שעדיף ללכת עם הרוב. נתנאל 04:16, 13 מאי 2005 (UTC)

שלשות פיתגוריות במספרים לא שלמים

יש לי בעייה עם הפסקה הזו. השלשות המודגמות בה כוללות לא סתם "מספרים לא שלמים", אלא מספרים שהם לא רציונליים. פיתגורס ואנשיו לא ידעו לקבל את השורש של שתיים כמספר, כך שממש לא ראוי לקרוא לשלשה שמכילה מספר לא רציונלי שלשה פיתגורית. odedee • שיחה‏ 19:33, 9 פברואר 2006 (UTC)

מחקתי את הפסקה. העובדה ש- $\ a,b,c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ מקיימים את המשוואה $\ a^{2}+b^{2}=c^{2}$ לכל a,b ממשיים אינה מוסיפה דבר. עוזי ו. 20:40, 9 פברואר 2006 (UTC)

הנוסחה למציאת שלשות פיתגוראיות

הערך לא מספק הסבר המניח את הדעת איך מפלימפטון 322 קיבלנו "הוכחה" לכך שהנוסחה הייתה ידועה לבבלים. כל מה שהלוח מוכיח (למיטב הבנתי המועטה) הוא שהבבלים הכירו כמה וכמה שלשות כאלו, שייתכן שהושגו בדרך של ניסוי וטעייה או בשיטות שאנחנו לא מכירים. אם איני טועה, המספרים שבטבלה לא יוצרו בצורה מסודרת על ידי בחירה סדרתית של ערכי s,t, ולכן בכלל לא ברור שנוצרו בעזרת הנוסחה. מישהו יכול לשפוך אור על העניין הזה? גדי אלכסנדרוביץ' 11:06, 15 מרץ 2006 (UTC)

הלוח Plimpton 322 ראוי לערך מקיף משלו, ואולי אנשים יכתבו אותו יום אחד (כשיתפנו מהצלת ערכים על שמות שבדיים מוזרים). בלוח הזה יש 15 שלשות פיתגוראיות, המסודרות לפי הזווית של המשולש שבו הן מופיעות. זה מה שעניין את הבבלים, ולא הערכים של s ו- t, וממילא אין שום סיבה שהשלשות יהיו מסודרות לפיהם. בכל מקרה גודלם של המספרים אינו משאיר מקום לספק שמדובר בשיטה יותר מתוחכמת מאשר ניסוי וטעיה. עוזי ו. 23:05, 15 מרץ 2006 (UTC)

זו לא הוכחה (ולא, אני לא רוצה הוכחה מתמטית) אלא השערה סבירה. גדי אלכסנדרוביץ' 05:05, 16 מרץ 2006 (UTC)

פלימפטון 322 נוצר לפני 3,500 שנה. קצת קשה לקבל הוכחה מוצקה לגבי מאורעות כה רחוקים בזמן, אבל בהתחשב בקושי להגיע אל תוצאה זו ללא שיטה, ההשערה שהייתה שיטה מאחורי הלוח סבירה ביותר. אם אתה מחכה לבת קול שתאשר לך זאת, מצטער, המתמטיקה לא בשמים היא. דוד שי 05:33, 16 מרץ 2006 (UTC)

אולי בגלל שאני סטודנט למתמטיקה, האקסטרפולציות של ההיסטוריונים מטרידות אותי. ההערה שלך על בת הקול הייתה מיותרת - אמרתי שאני לא מבקש הוכחה מתמטית. יותר משאני מצפה לבת קול, אני מצפה לקצת ענווה בקשר למה שאנחנו לא יכולים לדעת בודאות. במקום להגיד "זה מוכיח", להגיד "זה מחזק את ההשערה ש...". אני טרם הבנתי למה אין אפשרות שלבבלים הייתה ידועה שיטה אחרת. גדי אלכסנדרוביץ' 05:38, 16 מרץ 2006 (UTC)

כדי לא רק להתאונן אלא גם לעשות, אני מתנדב לכתוב את הערך פלימפטון 322, עכשיו משהתפניתי מהצלת ערכים על שמות שבדיים מוזרים. גדי אלכסנדרוביץ' 05:47, 16 מרץ 2006 (UTC)

לבבלים הייתה שיטה, לא בהכרח השיטה של אוקלידס. איזה שיטה? נחכה לערך פלימפטון 322, ואולי נדע. דוד שי 06:06, 16 מרץ 2006 (UTC)

מקריאת הספר שיש לי, מתחזקת בי מאוד האמונה שהשיטה שלהם הייתה השיטה שמתוארת בערך הזה. יש כמה נימוקים מעניינים בעד. אולי תוכל לעזור לי ולמצוא תמונה חפה מזכויות יוצרים (ורצוי גם ברורה) של הלוח? גדי אלכסנדרוביץ' 06:09, 16 מרץ 2006 (UTC)

רק כדי לסגור את הדיון (באיחור של כמעט שנה): כפי שניתן לראות בערך פלימפטון 322 שהוזכר לעיל, ההסבר של הלוח הטריגונומטרי הוא אפשרי ומניח את הדעת, אך קיים הסבר פשוט עוד יותר (ומתאים יותר לממצאים ההיסטוריים האחרים), שממנו לא עולה שלבבלים הייתה יכולת מתמטית מחוכמת כמו שיוחס להם כאן. ההסבר הזה הוא חדש יחסית ולא הופיע בספר שקראתי אז או בספרים דומים לו. גדי אלכסנדרוביץ' 19:42, 14 בפברואר 2007 (IST)

"שיטה נוספת" למציאת שלשות פיתגוראיות

בימים האחרונים הוסיפו כאן "שיטה חדשה" למציאת שלשות, הכרוכה ברשימות ארוכות ואיתור מספרים ריבועיים. אחרי הרבה עבודה מיותרת, מתקבלת שלשה מהצורה $\ (2s,s^{2}-1,s^{2}+1)$. אין בזה צורך, בדיוק כפי שאין צורך להוסיף את שיטת ניחוש הפתרונות לערך על מערכת משוואות לינארית. עוזי ו. 00:56, 3 מאי 2006 (IDT)

עוד משהו על הנוסחה

בערך נכתב "מתברר שכל שלשה פיתגורית אפשר להציג באמצעות הנוסחה שניתנה לעיל", כאשר הנוסחה שניתנה לעיל היא $\ a=2st\ ,\ b=s^{2}-t^{2}\ ,\ c=s^{2}+t^{2}$ כאשר $\ s,t$ מספרים טבעיים, והדרך לעשות זאת היא "כל שלשה אפשר לחלק בגורם קבוע כדי לקבל שלשה פרימיטיבית, להציג על פי הנוסחה, ולכפול בחזרה באותו גורם.". אלא שזה לא מדוייק. את השלשה 6,8,10, שמתקבלת על ידי הכפלת השלשה הפיתגורית 3,4,5 ב-2, אי אפשר לקבל כך. השלשה הפרימיטיבית שלה מתקבלת על ידי s=2,t=1 ואילו היא עצמה מתקבלת בכלל על ידי s=3,t=1 - איפה כאן ההכפלה בקבוע? הבעיה היא כמובן בכך שלא מספיק לומר "עוברים לשלשה פרימיטיבית ואז חוזרים", כי "לחזור" במקרה זה אין פירושו לשנות את s,t, אלא סתם לכפול אותם "מבחוץ" במשהו. אם נכפול אותם "מבפנים" באותו גורם, נוכל לקבל רק שלשות שמתקבלות על ידי כפל שלשה פרימיטיבית בריבוע טבעי כלשהו.

בפרט, ויקיפדיה האנגלית טוענת שכלל אי אפשר לקבל את כל השלשות על ידי הצבות של טבעיים ל-s,t (מבלי לתת דוגמה נגדית), כך שייתכן שהטענה הזו פשוט לא נכונה. צריך להתמקד ולהגיד שמה שמעניין אותנו הוא השלשות הפרימיטיביות כי מהן אפשר להגיע לכל השלשות עם עוד קצת עבודה (כפל בקבוע...); לא שאפשר לקבל את כל השלשות באמצעות הנוסחה אם עוברים על כל הטבעיים, ושההוכחה לכך, מספיק לה להיכתב עבור השלשות הפרימיטיביות. מבחינה חישובית אלו שני דברים שונים מהותית (נניח שאתם רוצים לכתוב תוכנה שפולטת סדרתית את כל השלשות הפיתגוריות - מה תעשו?). כמובן שאפשר לטעון ש"להציג באמצעות הנוסחה" אומר בדיוק "קחו s,t טבעיים, תכתבו את הנוסחאות, ואז תכפלו בקבוע", אבל אם כן, המידע הזה מוצפן היטב בערך וכדאי לציין אותו במפורש.

עוד דבר שכדאי שיופיע בערך ולא מופיע הוא תנאי האם ורק אם לכך ש-s,t יתנו שלשה פרימיטיבית (הם צריכים להיות זרים ואחד מהם צריך להיות זוגי). גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 08:20, 23 בפברואר 2008 (IST)

משפט רוברטס

האם ההצגה של שלשה כמכפלה של מטריצות בשלשה המצרית היא יחידה? זה משתמע מהמלה "עץ". עוזי ו. - שיחה 00:21, 27 ביולי 2008 (IDT).

כן. אם אתה ממש רוצה לדעת מה המסלול מהשלשה המצרית לשלשה כלשהי פשוט צריך לבצע תהליך רקורסיבי:

קח שלשה כלשהי, הכפל אותה במטריצה $T_{0}$ (שהיא כמו השלוש האחרות רק ששתי השורות הראשונות עם סימן מינוס). אתה מקבל שלשה מסומנת. עכשיו ההורה של השלשה שלך הוא הערכים המוחלטים של השלשה שקיבלת. כדי לדעת איזה מס' בן אתה זה פשוט:

אם בשלשה המסומנת שהתקבלה רק a שלילי אתה הבן של $T_{1}$. אם בשלשה המסומנת שהתקבלה רק b שלילי אתה הבן של $T_{2}$. אם בשלשה המסומנת שהתקבלה a,b שניהם שלילים אתה הבן של $T_{3}$. אפשר להוכיח שבכל שלב כזה c קטן, ולכן התהליך מסתיים (כשמגיעים לשלשה המצרית). לילה טוב Amirki - שיחה 02:04, 27 ביולי 2008 (IDT)

דרך אגב, אני התלבטתי איזה חלקים של הוכחת המשפט להכניס. כתבתי רק את הרעיון המרכזי, אבל לא בטוח שהוא מובן. מה דעתך? למחוק, להשאיר, להרחיב, אחר ?!

מה חסר?

לא שכחו כאן את השלשה 6-8-10 ?

לא, זו אינה שלשה פרימיטיבית: היא מתקבלת מהשלשה 3,4,5 על ידי הכפלה ב-2 (ההתעניינות מתמקדת בשלשות פרימיטיביות כי הן מתארות "משולשים שונים", וכי אם הן ידועות, כל השלשות ידועות). גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 15:41, 3 בספטמבר 2009 (IDT)

מה עם השלשה הבאה? (21,28,35)

מה עם השלשה הבאה? (21,28,35)

התשובה בפוסט הקודם. השלשה שהוצגה היא מכפלה ב-7 של השלשה 3,4,5. יוסי • שיחה 20:13, 24 באוקטובר 2009 (IST)

שאלה

למה אם A B C שלשה, C חייב להיות אי זוגי? ועוד דבר, המשפט 'על ידי בחינת הערכים האפשריים של s ו- t מודולו מספר קבוע n' ממש לא מובן. הודעה זו נכתבה באמצעות מערכת המשוב. 
109.65.198.221 03:50, 28 ביולי 2012 (IDT)

1. c הוא אי-זוגי רק בכל שלשה פרימיטיבית, כי אחרת או ש-a,b זוגיים ואז השלשה אינה פרימיטיבית, או ש-a,b אי-זוגיים ואז $(a^{2}+b^{2})\equiv 1+1=2\mod 4$ ו-2 לא ריבוע mod 4.
2. בחינת הערכים של s,t mod n, זאת אומרת שבודקים $s\equiv 0\mod n,\ s\equiv 1\mod n...$, וכך גם עם t, מייצרים שלשות פרימיטיביות (כמובן שלוקחים רק s,t שיכולים ליצור שלשה פרימיטיבית, זה קצת מסובך) ואז בודקים אילו ערכים לא מופיעים ב-a, אילו ב-b ואילו ב-c.

נוסחה

מישהו שמע על הנוסחה הבאה לשלשות פיתגוריות כש-A אי-זוגי: $(2N+1):[2N(N+1)]:[2N(N+1)+1]$ לכל N טבעי?

לדוגמה: $(2\times 2+1):[2\times 2(2+1)]:[2\times 2(2+1)+1]=(4+1):(4\times 3):(4\times 3+1)=5:12:13$

תודה, דונבוניונרון - שיחה 11:18, 23 בדצמבר 2013 (IST)

b ו-c אינם שקולים מודולו 8?

כאן מחקתי את הטענה שלעולם b ו-c אינם שקולים מודולו 8. אולי לא הבנתי נכון או שמשהו בניסוח בלבל אותי, אך אם הייתה כאן טענה שלעולם האיבר האיזוגי מבין a ו-b (שבאחת ההוכחות קראנו לו b) והאיבר c, אינם שקולים מודולו 8, הרי השטענה פשוט לא נכונה! אם בחרנו שהאיבר הקטן מבין s ו-t (לשם הנוחות נחליט ש-t הוא הקטן מבין השניים) הוא הזוגי, והגדול (s) הוא איזוגי, נקבל שההפרש בין c ל-b מתחלק ב-8 ללא שארית ולכן הם שקולים מודולו 8.

ההוכחה:
$c=s^{2}+t^{2}$.
$b=|s^{2}-t^{2}|=s^{2}-t^{2}$ (עבור $s>t$, כפי שהוצע).
ולכן, $c-b=(s^{2}+t^{2})-(s^{2}-t^{2})=2t^{2}$.
אם t זוגי, כפי שהוצע, ניתן להציג אותו כ-2x (כאשר x הוא שלם כלשהו), ואז $c-b=2t^{2}=2(2x)^{2}=2(4x^{2})=8x^{2}$.
מה שאומר שההפרש בין c ל-b מתחלק ב-8 ללא שארית (ונותן את המספר השלם $x^{2}$), מה שאומר ששניהם שקולים מודולו 8.
רק אם האיבר הקטן (t) איזוגי, מתקבל שיש הפרש בין c מודולו 8 ל-b מודולו 8 של 2 (בהצגה של t כ-2x + 1, והצבה בנוסחה לעיל).

ניתן אפילו להביא מספר דוגמאות סותרות:

• עבור t = 2 ו-s = 3, מתקבלת השלשה $a=12,b=5,c=13$. ההפרש בין b ל-c הוא 8 בדיוק, ושניהם שקולים מודולו 8 ל-5.
• עבור t = 2 ו-s = 5, מתקבלת השלשה $a=20,b=21,c=29$. ההפרש בין b ל-c הוא 8 בדיוק, ושניהם שקולים מודולו 8 ל-5.
• עבור t = 4 ו-s = 5, מתקבלת השלשה $a=40,b=9,c=41$. ההפרש בין b ל-c הוא 32 (8 כפול 4), ושניהם שקולים מודולו 8 ל-1.

אגב, כל השלשות דלעיל מופיעות במפורש כדוגמאות בערך! אביתר ג' • שיחה • 09:52, 23 בדצמבר 2018 (IST)

נכון. עוזי ו. - שיחה 12:35, 23 בדצמבר 2018 (IST)

פרמטריזציה של b, הוספה או אי הוספה של "בדיוק" וסוגריים מיותרים

אני מעוניין לשחזר את העריכה הזו. ואני מנמק:
1. כרגע נכתב בערך:

אפשר לייצר אינסוף שלשות פיתגוריות באמצעות הנוסחה $a=2st,b=s^{2}-t^{2},c=s^{2}+t^{2}$, כאשר $s,t$ מספרים טבעיים.

זה לא מדויק. שלשה פיתגורית היא שלשה של מספרים טבעיים, כלומר חיוביים ושלמים. אם t שנבחר גדול מ-s, ערכו של b לפי הנוסחה שבמסגרת יהיה שלילי, וממילא השלשה לא תהיה שלשה פיתגורית. צריך אחד מהשניים. או לשנות את הנוסחה ל-b, כך שתיתן את הערך המוחלט של $s^{2}-t^{2}$, כפי שהיה הנוסח הקדום בערך, או להבהיר, שחוץ מזה שצריך לבחור s ו-t טבעיים, צריך גם לבחור אותם כך ש-s גדול מ-t. יש עם ההצעה השנייה בעיה קלה משום שגם בהמשך ייצטרכו לתת את ההגבלה הזו לערכו של s. לעומת זאת, לפי ההצעה הראשונה אין הגבלה כזו לערכו של s, ובהמשך, בהוכחה, אין צורך להוסיף דבר.

2. כרגע נכתב בערך:

הוכחה: נבחין שאם $a,b,c$ שלשה פרימיטיבית, אז $c$ מוכרח להיות אי-זוגי, וכן גם אחד (בדיוק) מבין המספרים $a,b$...

אין לי בעיה עם ה"בדיוק", אך יש לי בעיה אם זה שהוא מופיע בסוגריים, ואחרי המילה "אחד" ולא לפניה. אם ה"בדיוק" הזה נצרך כדי שנדע שרק אחד מבין המספרים a ו-b איזוגי ולא שניהם, אז למה להסתיר אותו בסוגריים? ואם אינו נצרך, אז למה לכתוב אותו?

לכן, אני מציע את הנוסח הבא:

אפשר לייצר אינסוף שלשות פיתגוריות באמצעות הנוסחה $a=2st,b=|s^{2}-t^{2}|,c=s^{2}+t^{2}$, כאשר $s,t$ מספרים טבעיים... הוכחה: נבחין שאם $a,b,c$ שלשה פרימיטיבית, אז $c$ מוכרח להיות אי-זוגי, וכן גם בדיוק אחד מבין המספרים $a,b$...

―אביתרג (שיחה | תרומות | מונה) לא חתם ‌ 00:00, 10 בינואר 2000 (IST)

1. הטענה מדוייקת. אפשר ליצור אינסוף שלשות פיתגוריות באמצעות הנוסחה $a=2st,b=s^{2}-t^{2},c=s^{2}+t^{2}$, כאשר $s,t$ מספרים טבעיים; למשל בכך שבוחרים דווקא s>t. הערך כולו אריתמטי. הכנסת הערך המוחלט משבשת את השפה הטבעית שבה מטפלים באובייקטים כאלה. מכיוון שהתנאי המגדיר הוא ריבועי, אין שום חשיבות מלכתחילה לסימן של a,b,c ותיקון הסימן הוא בו זמנית גם מיותר וגם אוטומטי.

2. הנוסח בערך מציג את הסיפור במלואו. נבחין שאם $a,b,c$ שלשה פרימיטיבית, אז לא יתכן שכולם יהיו זוגיים, אבל מספר המתחלק בארבע אינו סכום של שני ריבועים אי-זוגיים, ולכן $c$ מוכרח להיות אי-זוגי, וכן גם אחד לפחות אבל דווקא משום כך אחד (בדיוק) מבין המספרים $a,b$. הנוסח ה"משופר" מסכם את התוצאה הסופית והורג את התהליך המנטלי. עוזי ו. - שיחה 11:20, 26 בדצמבר 2018 (IST)

1. שלשות שבנויות לפי הנוסחה דלעיל, כאשר t>s, הן אכן שלשות, והן אכן מקיימות $a^{2}+b^{2}=c^{2}$, אבל הן לא פיתגוריות, כי b אינו חיובי, ולכן גם לא טבעי, כהגדרת איבר בשלשה פיתגורית. לא הבנתי איך הריבועיות פותרת את הבעיה. אם t=4 ו-s=3, אזי $b=s^{2}-t^{2}=3^{2}-4^{2}=9-16=-7$. אז מה אם $b^{2}$ הוא חיובי? עדיין b עצמו שלילי ולכן לא מספר טבעי, ולכן לא חלק משלשה פיתגורית.
2. לא הבנתי איך הזזה של המילה "בדיוק" מיד לפני המילה "אחד" במקום מיד לאחריה, והורדת הסוגריים, הרגה את התהליך המנטלי מעבר למה שהוא נהרג בנוסח הקודם. אם המילה נצרכת, שים אותה בלי סוגריים, ואם אינה נצרכת, תוריד אותה לגמרי. מלבד זאת זה לא נכון דקדוקית לומר "אחד בדיוק". אומרים "בדיוק אחד".

אביתר ג' • שיחה • 15:00, 26 בדצמבר 2018 (IST)

1. קרא שוב את הטענה שבערך ואת מה שכתבתי כאן. אפשר ליצור אינסוף שלשות פיתגוריות באמצעות הנוסחה הנתונה (וגם אינסוף שלשות שבהן b שלילי). אתה מייחס משקל רב מדי לדרישה שהמספרים יהיו טבעיים. זו משוואה דיופנטית. די בכך ש-a,b,c יהיו שלמים.

2. המלה נצרכת בסוגריים. לא כתוב "אחד בדיוק" אלא "אחד (בדיוק)". עוזי ו. - שיחה 19:09, 26 בדצמבר 2018 (IST)

1. הערך מגדיר שלשה פיתגורית כשלשה של מספרים טבעיים, לא כשלשה של מספרים שלמים. אין לי בעיה לשנות את ההגדרה בערך, אך כל עוד אנחנו דורשים ש-a, b, c יהיו טבעיים, הם צריכים גם להיות חיוביים.

2. בין אם המילה "בדיוק" מופיעה ובין אם לאו, בין אם היא מופיעה בסוגריים ובין אם לאו, עדיין הקורא הפדנט נאלץ להפעיל את שכלו כדי להבין מדוע הטענה נכונה. הוא מתחיל בבדיקה של המצב כאשר a ו-b זוגיים ומבין שאז גם c זוגי, ולכן לא מדובר בשלשה פרימיטיבית. הוא ממשיך בבדיקה של המצב כאשר a ו-b איזוגיים, מקבל שכל אחד מהם בריבוע שקול מודולו 4 ל-1, ולכן סכומם ייתן מספר ששקול מודולו 4 ל-2, ולכן לא יכול להיות ריבוע. בסוף הוא נשאר עם האפשרות שאחד משניהם זוגי והשני איזוגי ולכן סכום ריבועיהם נותן גם הוא איזוגי. כאן דווקא חישוב שאריות החלוקה ב-4 נותן משהו מתאים. הזוגי מתחלק ב-4 ללא שארית, האיזוגי בריבוע שקול מודולו 4 ל-1, ולכן c שהוא סכום הריבועים הוא איזוגי השקול מודולו 4 ל-1. עדיין לא הבנתי איך הסוגריים ומיקום המילה "בדיוק" משפיע על התהליך המחשבתי שמפעיל הקורא.

3. מכל מקום, עייפתי מן הוויכוח. עשה כהבנתך. אביתר ג' • שיחה • 13:17, 27 בדצמבר 2018 (IST)

1. גם אם הנוסחה יוצרת גם דברים שאינם שלשות (בגלל b<0), היא עדיין יוצרת אינסוף שלשות פיתגוריות כפי שכתוב בערך. הכנסת הערך המוחלט משבשת. עוזי ו. - שיחה 18:46, 27 בדצמבר 2018 (IST)

דיווח על טעות

פרטי הדיווח

שלום, יש בעיה חמורה שמוצגת בממשק הסלולרי ובו מילים גסות בכותרת הערך. יש לתקן ולמצוא את העבריינים! דווח על ידי: BrainWiki5 - שיחה 13:44, 19 ביוני 2021 (IDT)