לוגריתם גאוסיאני

הפונקציות $s_{b}(z)$ ו-$d_{b}(z)$ בעבור $b=e$.

במתמטיקה, משתמשים בלוגריתמי חיבור וחיסור או לוגריתמים גאוסיאנים כדי למצוא את הלוגריתמים של הסכום וההפרש של זוג מספרים שערכי הלוגריתמים שלהם ידועים, מבלי לדעת את המספרים עצמם. הבסיס המתמטי ללוגריתמים הגאוסיאנים מצוי בעבודתם של Zecchini Leonelli וקרל פרידריך גאוס משנות ה-1800 המוקדמות.

פעולות החיבור והחיסור ניתנות לחישוב על ידי הנוסחה:

$\log _{b}(|X|+|Y|)=x+s_{b}(y-x)$

$\log _{b}(||X|-|Y||)=x+d_{b}(y-x),$

כאשר $x=\log _{b}(|X|),y=\log _{b}(|Y|)$, "פונקציית הסכום" מוגדרת להיות $s_{b}(z)=\log _{b}(1+b^{z})$, ו"פונקציית ההפרש" מוגדרת להיות $d_{b}(z)=\log _{b}(|1-b^{z}|)$. הפונקציות $s_{b}(z)$ ו-$d_{b}(z)$ נקראות גם לוגריתמים גאוסיאנים, ובאמצעות חוקי הלוגריתמים ניתן להראות בנקל שהביטויים באגף ימין אכן שווים ללוגריתמים של סכום והפרש המספרים, בהתאמה. הבעיה היא חישוב "פונקציית הסכום" ו"פונקציית ההפרש".

בעבור לוגריתמים טבעיים עם $b=e$, הזהויות הבאות, הכוללות פונקציות היפרבוליות, מתקיימות:

$s_{e}(z)=\ln 2+{\frac {z}{2}}+\ln \left(\cosh {\frac {z}{2}}\right)$

$d_{e}(z)=\ln 2+{\frac {z}{2}}+\ln \left|\sinh {\frac {z}{2}}\right|$

מה שמראה של-$s_{e}$ יש פיתוח טיילור שבו כל המקדמים פרט לאיבר החופשי הם רציונליים וכל האיברים האי זוגיים פרט לאיבר הלינארי הם אפס.

לוגריתמים אלו משמשים במערכת האריתמטית המכונה "מערכת המספרים הלוגריתמית" (באנגלית: LNS - Logarithmic number system).

השקילות בין לוגריתמים גאוסיאנים לחישוב עקיף סטנדרטי

להלן מובאות שתי דוגמאות המדגימות את השקילות בין המבנה החישובי של לוגריתמים גאוסיאנים לבין זה של החישוב העקיף (חישוב עקיף פירושו מציאה תחילה של זוג המספרים לפי ערכי הלוגריתמים שלהם, חישוב סכומם ולאחר מכן חישוב הלוגריתם של הסכום):

• כאשר $|X|=|Y|$ אז $z=x-y=0$ ולכן $s_{e}(z=0)=\ln 2$. מכאן נקבל:

$\ln(|X|+|Y|)=x+\ln 2=\ln(2|X|)$,

כלומר שתי הדרכים החישוביות שקולות.

• נניח $|Y|=2|X|$ ונקבל $z=\ln 2|X|-\ln |X|=\ln 2$, ומכאן נקבל:

$s_{e}(z=\ln 2)=\ln 2+{\frac {\ln 2}{2}}+\ln(\cosh({\frac {\ln 2}{2}}))=\ln {\sqrt {8}}+\ln({\frac {{\sqrt {2}}+({\sqrt {2}})^{-1}}{2}})=\ln {\sqrt {8}}+\ln({\frac {3}{\sqrt {8}}})=\ln 3$,

ולכן $\ln(|X|+|Y|)=x+\ln 3=\ln(3|X|)$, כלומר החישוב דרך לוגריתמים גאוסיאנים מניב אותה התוצאה כמו החישוב העקיף.

מקורות

• Logarithm: Addition and Subtraction, or Gaussian Logarithms". Encyclopædia Britannica Eleventh Edition".
• Leonelli, Zecchini (1803) [1802]. Supplément logarithmique. Théorie des logarithmes additionels et diductifs (in French).
• Gauß, Johann Carl Friedrich (1808-02-12). "LEONELLI, Logarithmische Supplemente". Allgemeine Literaturzeitung (in German). Halle-Leipzig (45): 353–356.