אלגוריתם גאוס-לז'נדר

שגיאות פרמטריות בתבנית:לשכתב
פרמטרי חובה [ נושא ] חסרים

פרק זה טעון שכתוב. אנא תרמו לוויקיפדיה ועזרו לשכתב אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.

אלגוריתם גאוס-לז'נדר הוא אלגוריתם לחישוב הספרות של π .

האלגוריתם מבוסס על העבודה האישית של קרל פרידריך גאוס (1855-1777) ואדריאן-מארי לז'נדר (1833-1752) בשילוב עם אלגוריתמים מודרניים לכפל ושורש ריבועי. האלגוריתם מבוסס על החלפה חוזרת של שני מספרים לפי הממוצע האריתמטי והגיאומטרי שלהם, בשביל לאמוד את הממוצע אריתמטי-גיאומטרי שלהם.

הגרסה שמוצגת כאן ידועה כאלגוריתם בראנט-סלאמין, בגלל שהוא נתגלה מחדש באופן בלתי תלוי על ידי ריצ'רד בראנט ו- סלאמין ב-1975. האלגוריתם שומש כדי לחשב את 206,158,430,000 הספרות העשרוניות הראשונות של π בספטמבר 18-20 1999.

1. ערכים התחלתיים:

$a_{0}=1\qquad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\qquad t_{0}={\frac {1}{4}}\qquad p_{0}=1$

2. חזור על ההוראות הבאות עד שההפרש בין $a_{n},b_{n}$ הוא בדייקנות רצויה.

$a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\,$

$b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}}\,$

$t_{n+1}=t_{n}-p_{n}(a_{n}-a_{n+1})^{2}\,$

$p_{n+1}=2p_{n}\,$

3. π ניתן לחישוב על ידי $a_{n},b_{n},t_{n}$ כך: $\pi \approx {\frac {(a_{n}+b_{n})^{2}}{4t_{n}}}\,$

שלוש ההצבות הראשונות בנוסחה נותנות:

                                            3.140 = π   
                                       3.14159264 = π
                                 3.1415926358979 = π