מספר ליילנד

מספר ליילנד (באנגלית: Leyland number) בתורת המספרים הוא מספר מהצורה: $x^{y}+y^{x}$ כאשר x ו-y הם שלמים גדולים מ-1.

מספרים אלו קרויים על שמו של המתמטיקאי הבריטי פול ליילנד. מספרי ליילנד הראשונים הם: $8,17,32,54,57,100,145,177,320,368,512,593,945,1124$ (סדרה A076980 באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים).

הדרישה ששני המספרים יהיו גדולים מ-1 חשובה, מכיוון שבלעדיה כל שלם חיובי יהיה מספר ליילנד מהצורה $x^{1}+1^{x}$. בנוסף, עקב עקרון הקומוטטיביות של החיבור, התנאי x ≥ y מוסף בדרך כלל כדי להימנע מכפילות בקבוצת מספרי ליילנד (כך שמתקבל התנאי: 1 < y ≤ x).

מספרי ליילנד ראשוניים

ליילנד ראשוניים (Leyland primes) הם מספרי ליילנד שהם גם ראשוניים.

הראשונים שבהם הם: $17,593,32993,2097593,8589935681$

המתאימים ל:

3²+2³, 9²+2⁹, 15²+2¹⁵, 21²+2²¹, 33²+2³³, 24⁵+5²⁴, 56³+3⁵⁶, 32¹⁵+15³².

עד נובמבר 2012 מספר ליילנד הגדול ביותר שהוכח שהוא ראשוני היה 5122⁶⁷⁵³ + 6753⁵¹²² (מספר בעל 25,050 ספרות). בתחילת 2011 הוא היה המספר הראשוני הגדול ביותר שהוכח שהוא ראשוני על ידי הוכחת ראשוניות בעזרת עקומות אליפטיות.

ישנם מספרים רבים גדולים יותר אשר נחשבים "כנראה ראשוניים" , כגון 314738⁹ + 9³¹⁴⁷³⁸, אולם קשה להוכיח מתמטית את ראשוניותם של מספרי ליילנד גדולים. פול ליילנד כתב באתרו: "לאחרונה התברר כי מספרים אלו הם אבן בוחן אידיאלית עבור תוכניות להוכחת ראשוניות. יש להם מבנה אלגברי פשוט אולם אין להם תכונות ציקלוטומיות (cyclotomic) מיוחדות הניתנות לניצול".

ישנו פרויקט בשם XYYXF שמטרתו למצוא רכיבי ליילנד של מספר ליילנד נתון.

מספרי ליילנד מהסוג השני

מספר ליילנד מהסוג השני הוא מהצורה:$x^{y}-y^{x}$, כאשר x ו-y הם שלמים גדולים מ-1.

גם עבור הסוג השני ישנה חשיבות למספרים הראשוניים. הראשונים שבהם הם: $7,17,79,431,58049,130783,162287,523927,2486784401,6102977801$