משפט ג'ייקובסון-מורוזוב

במתמטיקה, משפט ג'ייקובסון – מורוזוב הוא הטענה שניתן למצוא לכל איבר נילפוטנטי באלגברת לי פשוטה למחצה שני איבר נוספים באלגברה כך שהם יוצרים את האלגברה ${\mathfrak {sl}}_{2}$. במילים אחרות, ניתן לשכן את ${\mathfrak {sl}}_{2}$ בכל אלגברת לי פשוטה למחצה. המשפט נקרא על שם ולדימיר מורוזוב וניית'ן ג'ייקובסון. מורוזוב הוכיח את המשפט עבור המרוכבים כשדה בסיס בשנת 1942, וג'ייקובסון הכליל את המשפט עבור שדה בסיס עם מאפיין "מספיק נחמד" שונה מ-2 בשנת 1951.

נוסח המשפט

בשביל לנסח את המשפט, נציג כמה הגדרות לשם נוחות. ${\mathfrak {sl}}_{2}$-שלשה באלגברת לי פשוטה למחצה ${\mathfrak {g}}$ (לאורך כל הדף הזה, שדה הבסיס הוא ממאפיין אפס) הוא הומומורפיזם של אלגברות לי ${\mathfrak {sl}}_{2}\to {\mathfrak {g}}$ . באופן שקול, זו שלשה של איברים $e,f,h$ ב-${\mathfrak {g}}$ כך שהיחסים הבאים מתקיימים:

$[h,e]=2e,\quad [h,f]=-2f,\quad [e,f]=h.$

איבר $x\in {\mathfrak {g}}$ נקרא נילפוטנטי אם האנדומורפיזם $[x,-]:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ (הידוע בשם העתקת הצמוד, באנגלית: Adjoint Endomorphism ) הוא אנדומורפיזם נילפוטנטי, כלומר המטריצה המייצגת של ההעתקה היא מטריצה נילפוטנטית . עובדה: לכל ${\mathfrak {sl}}_{2}$ - שלשה $(e,f,h)$, $e$ חייב להיות נילפוטנטי. משפט ג'ייקובסון – מורוזוב מוכיח גם את הכיוון ההפוך: כל איבר נילפוטנטי $e\in {\mathfrak {g}}$ שונה מאפס ניתן להרחיב ל-${\mathfrak {sl}}_{2}$-שלשה. עבור ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}_{n}$, ה-${\mathfrak {sl}}_{2}$-שלשות נמצאו מפורשות על ידי נייל קריס ו-ויקטור גינצבורג במאמרם משנת 1997.