מטריצה נילפוטנטית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

במתמטיקה, מטריצה נילפוטנטית היא מטריצה ריבועית M כך ש- עבור q שלם חיובי כלשהו. באופן דומה, העתקה נילפוטנטית היא העתקה ליניארית L כך ש- עבור q שלם חיובי כלשהו.

אלו מקרים פרטיים של מושג הנילפוטנטיות, המוגדר בכל חוג: מטריצה נילפוטנטית אינה אלא איבר נילפוטנטי באלגברת המטריצות.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

המטריצה מהצורה הבאה:

היא דוגמה למטריצה נילפוטנטית מסדר 4×4. במטריצה זו לאלכסון האחדים יש את התכונה הבאה:

האלכסון 'נע' באלכסון למעלה, עד שנותרת מטריצת אפסים.

ההעתקה המתאימה למטריצה הנ"ל L : R4R4 מוגדרת על ידי:

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מטריצה היא נילפוטנטית אם ורק אם הפולינום האופייני שלה הוא . משום כך, מטריצה היא נילפוטנטית אם ורק אם הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים ליניאריים (תכונה המתקיימת ממילא מעל שדה סגור אלגברית), וכל הערכים העצמיים הם אפס.

תהי M מטריצה נילפוטנטית ריבועית מסדר n, אזי מתקיימות התכונות הבאות:

  • השלם הקטן ביותר q המקיים (אינדקס הנילפוטנטיות) קטן או שווה ל-n.
  • הדטרמיננטה והעקבה של M הן אפס.
  • מטריצה הדומה למטריצה נילפוטנטית היא מטריצה נילפוטנטית.
  • המטריצה היא הפיכה, שכן

צורת ז'ורדן[עריכת קוד מקור | עריכה]

משפט: כל מטריצה נילפוטנטית דומה למטריצת הבלוקים האלכסונית הבאה:

כך שכל בלוק הוא מהצורה הבאה:

כלומר, מכיל אחדים מעל האלכסון הראשי, ואפסים בכל שאר המקומות. משפט זה נובע מצורת ז'ורדן, בצירוף עם המשפט הקובע כי כל מטריצה הדומה למטריצה נילפוטנטית היא מטריצה נילפוטנטית.

תתי מרחבים[עריכת קוד מקור | עריכה]

העתקה נילפוטנטית L על המרחב Rn מגדירה את תתי המרחבים הבאים:

ואת הסיגנטורות הבאות:

הסיגנטורה מאפיינת את L לכדי העתקה ליניארית, וכן מקיימת את האי-שיוויונים הבאים:

.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]