איבר נילפוטנטי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באלגברה מופשטת, איבר של חוג R הוא נילפוטנטי, אם יש לו חזקה שהיא אפס, כלומר, אם עבור m גדול מספיק. המספר הטבעי הקטן ביותר בעל תכונה זו נקרא דרגת הנילפוטנטיות של x.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • בחוג של השאריות מודולו 4, האיבר 2 נילפוטנטי (מדרגה 2) כי .
  • המטריצה הריבועית היא מטריצה נילפוטנטית (מדרגה 3), כי מתקיים .
  • בכל חוג (גם אם אינו קומוטטיבי), אם נילפוטנטי, אז גם כזה, משום ש- . לדוגמה, אם ו- , כאשר הן יחידות מטריצות, אז ו- נילפוטנטי מסדר 2.

אם x נילפוטנטי, אז איבר הפיך: ; זהו איבר מוגדר היטב משום שהסכום סופי. בחוג קומוטטיבי, הסכום של כל איבר הפיך ואיבר נילפוטנטי הוא הפיך.

הספקטרום של חוג קומוטטיבי A הוא מרחב טופולוגי אי פריק אם ורק אם אוסף כל האיברים הנילפוטנטים בחוג הוא אידאל ראשוני.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]