משפט פוינטינג

באלקטרודינמיקה, משפט פוינטינג הוא ביטוי של שימור אנרגיה בשדה אלקטרומגנטי, בצורת משוואה דיפרנציאלית חלקית, שנוסח על ידי הפיזיקאי הבריטי ג'ון הנרי פוינטינג. משפט פוינטינג הוא אנלוגי למשפט עבודה-אנרגיה במכניקה קלאסית ודומה באופן מתמטי למשוואת רציפות, היות שהוא מקשר בין האנרגיה האגורה בשדה האלקטרומגנטי לבין העבודה הנעשית על מטען חשמלי, דרך הגדרת שטף האנרגיה באמצעות וקטור פוינטינג.

ניסוח המשפט

צורה כללית

התיאור המילולי של המשפט מבטא מאזן אנרגיה:

”קצב העברת אנרגיה (ליחידת נפח) מאזור במרחב שווה לעבודה הנעשית על התפלגות המטען בתוספת שטף האנרגיה היוצאת מאותו אזור.”

באופן מתמטי, ניתן לנסח את הצורה הדיפרנציאלית של המשפט:

$-{\frac {\partial u}{\partial t}}=\nabla \cdot \mathbf {S} +\mathbf {J} _{f}\cdot \mathbf {E}$

כאשר $\nabla \cdot \mathbf {S}$ הוא הדיברגנץ של וקטור פוינטינג (שטף האנרגיה) ו־$\mathbf {J} _{f}\cdot \mathbf {E}$ הוא הקצב בו השדות מבצעים עבודה על אובייקט טעון (${\vec {J}}_{f}$ הוא צפיפות הזרם החופשי, ${\vec {E}}$ הוא השדה החשמלי ו־$\cdot$ מייצג מכפלה סקלרית). צפיפות האנרגיה $u$ ניתנת על ידי:

$u={\frac {1}{2}}\left(\epsilon \mathbf {E} \cdot \mathbf {E} +{\frac {1}{\mu }}\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} \right)$

כאשר ${\vec {B}}$ הוא השדה המגנטי, $\epsilon$ הוא המקדם הדיאלקטרי ו-$\mu$ הפרמאביליות. המקדם הדיאלקטרי והפרמאביליות משקללים את השפעת המטענים הקשורים ולכן ${\vec {J}}$ מתייחס לצפיפות המטען החופשי בלבד ולא לצפיפות המטען הכוללת.

תוך שימוש במשפט הדיברגנץ, ניתן לנסח את הצורה האינטגרלית של משפט פוינטינג:

$-{\frac {d}{dt}}\int _{V}u~\mathrm {d} V=$$\scriptstyle \partial V$$\mathbf {S} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} +\int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ~\mathrm {d} V$

כאשר $\partial V$ היא שפת הנפח $V$. הצורה של הנפח שרירותית אך קבועה בזמן לצורך החישוב.

בהנדסת חשמל

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו.

לצורך יישומים של הנדסת חשמל, המשוואה בדרך כלל נכתבת תוך פיתוח האיבר u בדרך המזכירה משוואת רציפות:

$\nabla \cdot \mathbf {S} +\epsilon _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} =0$

קישורים חיצוניים

• Eric W. Weisstein, "Poynting Theorem", in ScienceWorld – A Wolfram Web Resource

הערות שוליים

ערך זה הוא קצרמר בנושא פיזיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.