פונקציה ממשית

פונקציה ממשית היא פונקציה שהטווח שלה הוא קבוצת המספרים הממשיים. לעיתים קרובות דורשים גם שתחום ההגדרה שלה יהיה המספרים הממשיים.

תכונות

תורת הפונקציות הממשיות קרויה אנליזה ממשית, והיא כוללת את החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי. תכונות מרכזיות של פונקציות הנחקרות בתורה זו כוללות חסימות, מונוטוניות, רציפות, גזירות ואנליטיות.

האנליזה הממשית מכירה במשפחות של פונקציות ממשיות. אם I הוא קטע ממשי, מסמנים ב-$D^{n}(I)$ את מרחב הפונקציות הממשיות המוגדרות על I, וגזירות n פעמים; וב-$C^{n}(I)$ את מרחב הפונקציות הממשיות המוגדרות על I, וגזירות n פעמים כך שהנגזרת ה-n-ית רציפה. הגדרה דומה אפשרית גם כאשר מדובר בהתנהגות בנקודה (כאשר הפונקציות מוגדרות בסביבה פתוחה שלה). המרחבים מקוננים זה בזה: $C^{\infty }\subset \cdots \subset C^{2}\subset D^{2}\subset C^{1}\subset D^{1}\subset C^{0}$, כאשר $C^{\infty }$ הוא מרחב הפונקציות הגזירות אינסוף פעמים (אלו נקראות פונקציות חלקות).

דוגמאות

• פולינומים כגון $f(x)=x^{2}$.
• סינוס: $f(x)=\sin x$.
• $f(x)=e^{x}$, פונקציית האקספוננט רציפה וגזירה אינסוף פעמים בכל הישר הממשי, בפרט ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}e^{x}=e^{x}$.
• הפונקציה $f(x)=1/x^{2}$ מוגדרת בכל מקום בישר הממשי פרט ל-$x=0$. הפונקציה איננה חסומה בכל סביבה מנוקבת של נקודה זו.
• פונקציית דיריכלה.

קישורים חיצוניים

• פונקציה ממשית, באתר MathWorld (באנגלית)