סינוס (טריגונומטריה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
גרף הפונקציה סינוס
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

סינוס (מסומן ב-\ \sin) היא פונקציה טריגונומטרית בסיסית, המתאימה באופן בסיסי לכל זווית מספר בין 1- ל-1. הרחבות שונות שלה משמשות במגוון תחומים, כגון הגדרות שונות באנליזה (ובפרט אנליזה מרוכבת). הפונקציה שימושית מאוד בפיזיקה, בהנדסת חשמל ובתחומי מדע והנדסה אחרים. גרף הפונקציה משמש בפיזיקה לתאור גל.

הגדרות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הגדרה בסיסית[עריכת קוד מקור | עריכה]

במשולש זה, סינוס הזווית A שווה \frac{a}{c}

בהגדרתה הבסיסית ביותר, פונקציית הסינוס מציינת את היחס בין הניצב ליתר במשולש ישר-זווית, כפונקציה של הזווית שמול הניצב הזה. הגדרה זאת מתייחסת רק לזווית בתחום שבין 0 ל-90 מעלות או \frac{\pi}{2} רדיאנים, כלומר זווית ישרה. משולשים עם זוויות זהות דומים ויחס הצלעות בהם תמיד זהה. לכן הסינוס של זווית מוגדר היטב.

הרחבה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הגדרת הסינוס של מספר כלשהו \ \theta

במעגל היחידה ניתן להסתכל על רדיוס הנמתח מהמרכז לנקודה (x,y) כיתר של משולש ישר-זווית שניצביו ניצבים לצירים. מכיוון שאורך היתר הוא 1 נקבל שסינוס הזווית שבין ציר ה-x לרדיוס הוא בדיוק אורך ניצב המשולש המקביל לציר ה-y, כלומר שיעור ה-y של הנקודה (x,y). עובדה זו מאפשרת להגדיר את פונקציית הסינוס לכל מספר ממשי: הסינוס של מספר \ \theta הוא שיעור ה-y של הנקודה על מעגל היחידה שהזווית בין הרדיוס הנמתח אליה לציר ה-x הוא \ \theta (ברדיאנים).

אנימציה המדגימה חישוב ערך הסינוס לפי מעגל היחידה

טור טיילור[עריכת קוד מקור | עריכה]

כאשר הזווית נתונה ברדיאנים, ניתן להגדיר את פונקציית הסינוס באמצעות טור טיילור:

 \sin x = \ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}

ניתן גם להסיק את הטור מתוך ההגדרה הקודמת של סינוס על ידי גזירה חוזרת של הפונקציה. מהטור נובע קירוב סינוס לזוויות קטנות: \sin x \approx x, מכיוון שכשאר x קטן החזקה השלישית שלו וחזקות גבוהות יותר זניחות.

הגדרה זאת מאפשרת להגדיר את פונקציית הסינוס גם למספרים מרוכבים. באמצעות נוסחת אוילר אפשר לקבל הגדרות נוספות לסינוס:

\ \sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}

וכן,

\sin x = \frac{\sinh \left( i z\right) }{i} (ראו פונקציה היפרבולית)

הגדרות נוספות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מלבד דרכים חשובות אלו, ישנן דרכים נוספות להגדיר את פונקציית הסינוס.

ניתן להגדיר את פונקציית הסינוס גם באמצעות שבר משולב:

 \sin x = 
\cfrac{x}{1 + \cfrac{x^2}{2\cdot3-x^2 + 
\cfrac{2\cdot3 x^2}{4\cdot5-x^2 + 
\cfrac{4\cdot5 x^2}{6\cdot7-x^2 + \ddots}}}}.

שבר זה מתקבל מטור טיילור לעיל.

דרך נוספת היא בעזרת מכפלה אינסופית:

\sin x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)

מכפלה זו היא המפתח לפתרונו של אוילר לבעיית בזל.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

התכונות להלן מתייחסות לפונקציה הממשית

  • פונקציית הסינוס היא אי-זוגית, משום שמתקיים \sin \ (-x) = -\sin \ (x).
  • פונקציית הסינוס היא מחזורית בעלת מחזור של \ 2\pi. זאת משום שסיבוב של \ 2\pi מחזיר אותך לנקודת המוצא.
  • פונקציית הסינוס רציפה, גזירה ואינטגרבילית לכל \ x. לפונקציה אינסוף נקודות קיצון מהצורה \ x = \frac{\pi}{2} + \ 2 \pi k (מקסימום) ו-\ x = -\frac{\pi}{2} + \ 2 \pi k (מינימום), כאשר \ k מספר שלם. הערך במקסימום הוא 1 ובמינימום -1.
  • לפנוקציה אינסוף שורשים מהצורה \ x =\pi k, כאשר \ k מספר שלם. אלו כל השורשים של הפונקציה במישור המרוכב.
  • התמונה של הפונקציה היא \ [-1,1].

נגזרת[עריכת קוד מקור | עריכה]

הנגזרת של פונקציית הסינוס היא פונקציית הקוסינוס:

{d \over dx} \sin x = \cos x

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

לפי הגדרתה, הנגזרת שווה לגבול:

\lim_{x \to x_0} \frac{\sin x - \sin x_0}{x - x_0}

על פי הזהות הטריגונומטרית: \sin \theta - \sin \varphi = 2 \cos\left({\theta + \varphi \over 2}\right) \sin\left({\theta - \varphi\over 2}\right) \;
נקבל:

\lim_{x \to x_0} \frac{\sin x - \sin x_0}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \frac{ 2 \cos\left({x + x_0 \over 2}\right) \sin\left({x - x_0 \over 2}\right) \;}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0}\frac{\sin\left({x - x_0 \over 2}\right) \;}{\frac{x - x_0}{2} }\cdot\cos\left({x + x_0 \over 2}\right) \;

נשתמש בגבול הטריוויאלי: \ \lim_{x \to x_0}{x - x_0 \over 2} = 0, בגבול המפורסם: \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}=1 וברציפות הפונקציות כדי לקבל:

\lim_{x \to x_0}\frac{\sin\left({x - x_0 \over 2}\right) \;}{\frac{x - x_0}{2} }\cdot\cos\left({x + x_0 \over 2}\right) \; =\lim_{x \to x_0} 1 \cdot \cos\left({x + x_0 \over 2}\right) \; = \cos\left({2x \over 2}\right) \; = \cos x מש"ל.

בעזרת כלל השרשרת ניתן לקבל שהנגזרת של קוסינוס היא מינוס סינוס, ועל כן הנגזרת הרביעית של סינוס שווה לעצמה. מכאן נובעת דרך נוספת להגדיר את פונקציית הסינוס בעזרת משוואה דיפרנציאלית:

פונקציית הסינוס היא פתרון המשוואה \ f''(x) = - f(x) כאשר \ f(0) = 0 ו-\ f'(0) = 1.‏[1]

הפונקציה הקדומה של הסינוס היא מינוס קוסינוס: \int \sin x \,dx = -\cos x+C

ערכים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ערכי הפונקציה לזוויות שונות על מעגל היחידה

להלן טבלת ערכים שהפונקציה מקבלת עבור זויות נפוצות:

x (זווית) sin x
מעלות רדיאנים גראדים במדויק קירוב עשרוני
0 0g 0 0
180° \pi 200g
15° \frac{\pi}{12} 162/3g \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} 0.258819045102521
165° \frac{11 \cdot \pi}{12} 1831/3g
30° \frac{\pi}{6} 331/3g \frac{1}{2} 0.5
150° \frac{5 \cdot \pi}{6} 1662/3g
45° \frac{\pi}{4} 50g \sqrt{\frac{1}{2}} 0.707106781186548
135° \frac{3 \cdot \pi}{4} 150g
60° \frac{\pi}{3} 662/3g \frac{\sqrt{3}}{2} 0.866025403784439
120° \frac{2 \cdot \pi}{3} 1331/3g
75° \frac{5 \cdot \pi}{12} 831/3g \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} 0.965925826289068
105° \frac{7 \cdot \pi}{12} 1162/3g
90° \frac{\pi}{2} 100g 1 1

זהויות[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – זהויות טריגונומטריות
  • פונקציית הסינוס מקיימת: \ \sin(-\theta) = -\sin\theta וכן \ \sin(\pi - \theta) = \sin \theta
  • בעזרת פונקציית הסינוס אפשר לבטא את חמש הפונקציות הבסיסיות האחרות (השורשים יכולים להיות חיוביים ושליליים): \cos\theta = \sqrt{1 - \sin^2\theta} , \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\sqrt{1 - \sin^2\theta}} , \cot\theta = {\sqrt{1 - \sin^2\theta} \over \sin \theta} , \csc\theta = {1 \over \sin \theta} , \sec\theta = {1 \over \sqrt{1 - \sin^2\theta}}
  • סכום זוויות: \sin(\theta \pm \varphi) = \sin \theta \cos \varphi \pm \cos \theta \sin \varphi
  • זווית כפולה: \ \sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta , \ \sin 3\theta = 3 \sin \theta- 4 \sin^3\theta ובאופן כללי \sin n\theta = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k \theta\,\sin^{n-k} \theta\,\sin\left(\frac{1}{2}(n-k)\pi\right)
  • חצי זווית: \sin \tfrac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}
  • סכום סינוסים: \sin \theta + \sin \varphi = 2 \sin\left( \frac{\theta + \varphi}{2} \right) \cos\left( \frac{\theta - \varphi}{2} \right), \sin \theta - \sin \varphi = 2 \cos\left({\theta + \varphi \over 2}\right) \sin\left({\theta - \varphi\over 2}\right) \;

הפונקציה ההפוכה[עריכת קוד מקור | עריכה]

גרף פונקציית הארכסינוס

הפונקציה ההפוכה לפונקציית הסינוס נקראת ארקסינוס ומסומנת  \ \arcsin או  \ \sin^{-1} . הפונקציה מוגדרת לערכים שבקטע \ [-1 ,1], וכיוון שפונקציית הסינוס אינה חד-חד-ערכית, ניתן להחליט איזה טווח ערכים היא תקבל. נהוג להגדיר אותה לטווח הערכים \ [-\frac{\pi}{2} ,\frac{\pi}{2}]. הנגזרת שלה היא {d \over dx} \arcsin x = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}}.

משפט הסינוסים[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – משפט הסינוסים

משפט הסינוסים הוא משפט הקובע את הקשר בין צלעות המשולש וזוויותיו, תוך שימוש בפונקציית הסינוס:

{a \over \sin \alpha}={b \over \sin \beta}={c \over \sin \gamma}=2R

כאשר הזוויות  \alpha,\beta,\gamma נמצאות מול הצלעות a, b, c בהתאמה, ו-R הוא רדיוס המעגל החוסם את המשולש.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא סינוס בוויקישיתוף

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]