סינוס (טריגונומטריה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
גרף הפונקציה סינוס
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

סינוס (מסומן ב-) היא פונקציה טריגונומטרית בסיסית, המתאימה באופן בסיסי לכל זווית - מספר בין (1-) ל-1. הרחבות שונות של הפונקציה משמשות במגוון תחומים, כגון: הגדרות שונות באנליזה (ובפרט באנליזה מרוכבת). הפונקציה שימושית מאוד בפיזיקה, בהנדסת חשמל ובתחומי מדע והנדסה אחרים. גרף הפונקציה משמש בפיזיקה לתיאור גל.

הגדרות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הגדרה בסיסית[עריכת קוד מקור | עריכה]

במשולש זה, סינוס הזווית A שווה

בהגדרתה הבסיסית ביותר, הערך של פונקציית הסינוס בזווית נתונה היא היחס בין הניצב שמול הזווית לבין היתר במשולש ישר-זווית. הגדרה זאת מתייחסת רק לזווית בתחום שבין 0, לבין 90 מעלות (או רדיאנים), כלומר לזווית ישרה. משולשים עם זוויות זהות הם משולשים דומים, ויחס הצלעות בהם תמיד זהה. לכן הסינוס של כל זווית מוגדר היטב.

הרחבה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הגדרת הסינוס של מספר כלשהו

במעגל היחידה ניתן להסתכל על רדיוס הנמתח מהמרכז לנקודה (x,y) כיתר של משולש ישר-זווית שניצביו ניצבים לצירים. מכיוון שאורך היתר הוא 1 נקבל שסינוס הזווית שבין ציר ה-x לרדיוס הוא בדיוק אורך ניצב המשולש המקביל לציר ה-y, כלומר שיעור ה-y של הנקודה (x,y). עובדה זו מאפשרת להגדיר את פונקציית הסינוס, לכל מספר ממשי: הסינוס של מספר כלשהו הוא שיעור ה-y של הנקודה על מעגל היחידה, שהזווית בין הרדיוס הנמתח אליה לבין ציר ה-x הוא (ברדיאנים).

אנימציה המדגימה חישוב ערך הסינוס לפי מעגל היחידה

טור טיילור[עריכת קוד מקור | עריכה]

כאשר הזווית נתונה ברדיאנים, ניתן להגדיר את פונקציית הסינוס באמצעות טור טיילור:

ניתן גם להסיק את הטור מתוך ההגדרה הקודמת של סינוס, על ידי גזירה חוזרת של הפונקציה. מהטור נובע קירוב סינוס לזוויות קטנות: , וזאת מכיוון שכאשר x קטן, החזקה השלישית שלו וכל החזקות הגבוהות יותר הן זניחות.

הגדרה זאת מאפשרת להגדיר את פונקציית הסינוס גם למספרים מרוכבים. באמצעות נוסחת אוילר אפשר לקבל הגדרות נוספות לסינוס:

וכן,

(ראו פונקציה היפרבולית)

הגדרות נוספות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מלבד דרכים חשובות אלו, ישנן דרכים נוספות להגדיר את פונקציית הסינוס.

ניתן להגדיר את פונקציית הסינוס גם באמצעות שבר משולב:

שבר זה מתקבל מטור טיילור שלעיל.

דרך נוספת היא בעזרת מכפלה אינסופית:

מכפלה זו היא המפתח לפתרונו של אוילר לבעיית בזל.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

התכונות להלן מתייחסות לפונקציה הממשית

  • פונקציית הסינוס היא אי-זוגית, משום שמתקיים .
  • פונקציית הסינוס היא מחזורית, בעלת מחזור של . זאת משום שסיבוב של מחזיר את הנקודה P לנקודת המוצא.
  • פונקציית הסינוס רציפה, גזירה ואינטגרבילית לכל . לפונקציה יש אינסוף נקודות קיצון מהצורה: (מקסימום) ו- (מינימום), כאשר מספר שלם. הערך במקסימום הוא 1, ובמינימום (-1).
  • לפנוקציה יש אינסוף שורשים מהצורה: , כאשר מספר שלם. אלו כל השורשים של הפונקציה במישור המרוכב.
  • התמונה של הפונקציה היא: .

נגזרת[עריכת קוד מקור | עריכה]

הנגזרת של פונקציית הסינוס היא פונקציית הקוסינוס:

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

לפי הגדרתה, הנגזרת בנקודה שווה לגבול:

על פי הזהות הטריגונומטרית:
נקבל:

נשתמש בגבול הטריוויאלי: , בגבול המפורסם: וברציפות הפונקציות כדי לקבל:

.

מש"ל.

בעזרת כלל השרשרת ניתן לקבל שהנגזרת של קוסינוס היא מינוס סינוס, ועל כן הנגזרת הרביעית של סינוס שווה לעצמה. מכאן נובעת דרך נוספת להגדיר את פונקציית הסינוס בעזרת משוואה דיפרנציאלית:

פונקציית הסינוס היא פתרון המשוואה כאשר ו-.[1]

הפונקציה הקדומה של הסינוס היא מינוס קוסינוס:

ערכים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ערכי הפונקציה לזוויות שונות על מעגל היחידה

להלן טבלת ערכים שהפונקציה מקבלת עבור זוויות נפוצות:

x (זווית) sin x
מעלות רדיאנים גראדים במדויק קירוב עשרוני
0 0g 0 0
180° 200g
15° 162/3g 0.258819045102521
165° 1831/3g
30° 331/3g 0.5
150° 1662/3g
45° 50g 0.707106781186548
135° 150g
60° 662/3g 0.866025403784439
120° 1331/3g
75° 831/3g 0.965925826289068
105° 1162/3g
90° 100g 1 1

sup>1

זהויות[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – זהויות טריגונומטריות
  • פונקציית הסינוס מקיימת: וכן
  • בעזרת פונקציית הסינוס אפשר לבטא את חמש הפונקציות הבסיסיות האחרות (השורשים יכולים להיות חיוביים ושליליים): , , , ,
  • סכום זוויות:
  • זווית כפולה: , ובאופן כללי
  • חצי זווית:
  • סכום סינוסים: ,

הפונקציה ההפוכה[עריכת קוד מקור | עריכה]

גרף פונקציית הארכסינוס

הפונקציה ההפוכה לפונקציית הסינוס נקראת ארקסינוס ומסומנת או . הפונקציה מוגדרת לערכים שבקטע , וכיוון שפונקציית הסינוס אינה חד-חד-ערכית, ניתן להחליט איזה טווח ערכים היא תקבל. נהוג להגדיר אותה לטווח הערכים . הנגזרת שלה היא .

משפט הסינוסים[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – משפט הסינוסים

משפט הסינוסים הוא משפט הקובע את הקשר בין צלעות המשולש וזוויותיו, תוך שימוש בפונקציית הסינוס:

כאשר הזוויות נמצאות מול הצלעות a, b, c בהתאמה, ו-R הוא רדיוס המעגל החוסם את המשולש.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא סינוס בוויקישיתוף

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]