פונקציית קאפא

פונקציית קאפא (Kappa Function) היא חלק מקבוצת פונקציות השוואה המשמשות, בין היתר בתורת הבקרה לבדיקת היציבות של מערכות לא-אוטונומיות (בטופולוגיה מערכות אלה מייצגות פונקציות דינמיות על מרחב חלק, שמקומית מהווה מרחב מכפלה, אך גלובלית יכול להיות בעל מבנה טופולוגי שונה (Fiber bundle). הן משמשות בנוסף למידול נתונים.

קיימת בהן שימוש נרחב גם בפיזיקה. מערכות חלקיקים קלאסיות נמצאות בשיווי משקל תרמי כאשר פונקציית החלוקה המתארת את וקטור המהירות שלהן מתייצבת לפי התפלגות מקסוול-בולצמן. מנגד, מערכות חלקיקים ללא אינטראקציה בניהם מאופיינות בהתנהגות לא מקסווליאנית, המתוארת בדרך כלל על ידי פונקציות התפלגות קאפא (או: פונקציית החלוקה קאפא). פונקציות אלה משמשות כיום בעיקר בחקר החלל ובתיאור פלזמות חלל.

הגדרה מתמטית

פונקציות קאפא שייכות למשפחה הבאה:

הגדרה: פונקציה רציפה $f:[0,a)\rightarrow [0,\infty )$ שייכת למחלקה $K$ אם:

• הפונקציה עולה ממש
• היא מקיימת $f(0)=0$

זו למעשה הגדרת הנורמה פרט לאי-שוויון המשולש.

הגדרה: פונקציה רציפה $f:[0,a)\rightarrow [0,\infty )$ שייכת למחלקה $K_{\infty }$ אם:

• היא שייכת למחלקה $K$
• היא מקיימת $a=\infty$
• מתקיים $\lim _{n\to \infty }f(n)=\infty$

פונקציה ממחלקה $K_{\infty }$ חסומה.

המקור הסטטיסטי של התפלגות קאפא

הבנת המקור הסטטיסטי של התפלגות קאפא היא אבן יסוד בהתפתחויות ויישומים עיוניים הכוללים בין היתר את:

• המשמעות הפיזיקלית של טמפרטורה, לחץ תרמי ופרמטרים תרמודינמיים אחרים
• המשמעות הפיזיקלית של אינדקס קאפא וקשרו לדרגות החופש והמתאם ביניהם
• משוואת סאקר-טטרוד עבור התפלגויות קאפא
• תיאור רב חלקיקי של התפלגויות קאפא
• התפלגות הקאפא של המילטוניאן עם פוטנציאל רדיאלי או זוויתי שונה מאפס

הצורך בהגדרת אינדקס קאפא נובע מניסיון לתאר את המצב הפיזיקלי בו נמצאות בין היתר פלזמות חלל. היה ידוע כי שיווי משקל תרמי הוא מצב עמיד מסוים בו זרימת חום יציבה. מערכות בשיווי משקל תרמי כזה מאופיינות על ידי 2 מאפיינים סטטיסטיים: (1) מהירות החלקיקים שלהם מתוארות על ידי פונקציות התפלגות סטציונריות, (2) הפונקציות הסטציונריות הללו הן פונקציות התפלגות מקסוול. בהתבוננות על פלזמות חלל נראה כי הן נמצאות במצב עמיד אבל התפלגות מקסוול הקלאסית כמעט ולא קיימת שם, כלומר הפלזמות מחוץ לשיווי משקל תרמי.

בסיס הפיתוח הוא הגדרת האקספוננט על פי אוילר (Euler):

$e^{x}=\lim _{\kappa \to \infty }(1-{\tfrac {1}{\kappa }}x)^{-\kappa }$ ; $e^{-x}=\lim _{\kappa \to \infty }(1+{\tfrac {1}{\kappa }}x)^{-\kappa }$

בסיס הפורמליזם של המכניקה הסטטיסטית מורכב מהאנטרופיה ופונקציית החלוקה הקנונית (תחת האילוצים של האנסמבל הקנוני). במכניקה הסטטיסטית של גיבס-בולצמן.

פונקציית החלוקה $Z={\sum _{\epsilon =1}e^{-{\tfrac {\epsilon }{k_{B}T}}}}$ נתונת על ידי אקספוננט האנרגיה על פי אוילר והאנטרופיה S על ידי פונקציית צפיפות ההסתברות p מהאקספוננט הנ"ל:

$p_{\kappa =\infty }(\epsilon )={\tfrac {e^{-{\tfrac {\epsilon }{k_{B}T}}}}{\sum _{\epsilon =1}e^{-{\tfrac {\epsilon }{k_{B}T}}}}}=\lim _{\kappa \to \infty }{\biggl [}{\tfrac {{\biggl (}1+{\tfrac {1}{\kappa }}{\tfrac {\epsilon }{k_{B}T}}{\biggl )}^{-\kappa }}{\sum _{\epsilon =1}{\biggl (}1+{\tfrac {1}{\kappa }}{\tfrac {\epsilon }{k_{B}T}}{\biggl )}^{-\kappa }}}{\biggl ]}$ ; $S\equiv \sum _{p}p\ln(p)=\lim _{\kappa \rightarrow \infty }{\biggl [}\kappa {\biggl (}1-\sum _{p}p^{1+{\tfrac {1}{\kappa }}}{\biggl )}{\biggl ]}$

ניתן להביע את אינדקס קאפא באמצעות q: $\kappa ={\tfrac {1}{q-1}}$

המכניקה הסטטיסטית הלא אקסטנסיבית

מן הפיתוח למעלה התקבלה האנטרופיה והמכניקה הסטטיסטית הלא אקסטנסיבית של צאליס (על שם המפתח קונסטנטינו צאליס, פיזיקאי ממוצא יווני), שהיא הכללה של המכניקה הסטטיסטית של גיבס-בולצמן. ופונקציית ההתפלגות קאפא היא מסקנה שנבעה מתוך סטטיסטיקה זו. התפלגות בולצמן היא הגבול בו אינדקס קאפא הולך לאינסוף והאנטרופיה בגבול זה היא האנטרופיה הקלאסית במצב של שיווי משקל תרמי.

הרעיון העיקרי היה להכליל את משוואת האנטרופיה למשוואה של פרמטר יחיד, q, על הסתברות ההתפלגות. כאשר $-\infty <q<\infty$

ומתקבלות מערכות חדשות המתוארות באמצעות פונקציית ההסתברות החדשה $P_{\kappa }={\tfrac {p_{\kappa }^{q}}{\sum _{\kappa =1}^{W}p_{\kappa }^{q}}}$ ואנטרופיה חדשה $S(\kappa )=\kappa {\biggl (}1-\sum _{\kappa =1}^{W}p_{\kappa }^{\tfrac {\kappa +1}{\kappa }}{\biggl )}$

תחת הסטטיסטיקה של צאליס מתקבלת גרסה חדשה עבור האנרגיה הפנימית U: $U=\langle \epsilon \rangle =\sum _{\kappa =1}^{W}P_{\kappa }\epsilon _{\kappa }$

מכאן נובע עיקרון מקסימום האנרגיה החופשית החדשה של גיבס (הכללה של האנרגיה החופשית של גיבס)

$G(\{p_{\kappa }\}_{\kappa =1}^{W};q)=S(\{p_{\kappa }\}_{\kappa =1}^{W};q)+\lambda _{1}\sum _{\kappa =1}^{W}p_{\kappa }+\lambda _{2}\sum _{\kappa =1}^{W}P_{\kappa }(\{p_{\kappa '}\}_{\kappa '=1}^{W};q)\epsilon _{\kappa }$

וכל המשך הפיתוח באופן זהה לפי המכניקה הסטטיסטית הרגילה.

האנטרופיה של צאליס

ערך מורחב – אנטרופיית צאליס

במכניקה הלא אקסטנסיבית, האנטרופיה היא פונקציונאל של התפלגות מהירות החלקיקים במערכות מחוץ לשיווי משקל תרמי. התפלגות קאפא מהווה את הפונקציה הספציפית עבורה נקבל את מקסימום האנטרופיה של צאליס (Tsallis entropy) ומוגדרת מחדש להיות הפונקיונאל של האנטרופיה הזו.

$S(p({\vec {u}});q)=k_{B}\cdot (q-1)^{-1}{\biggl [}1-\int _{-\infty }^{\infty }p({\vec {u}})^{q}d{\vec {u}}{\biggl ]}$ תחת ההגדרות:

• $d{\vec {u}}$ – מסת הזורם העובר דרך יחידת שטח אינפיניטסימלית ליחידת זמן (ספיקה) מממד $d_{\kappa }$
• $d_{\kappa }$ – מספר דרגות החופש של האנרגיה הקינטית.

פרדוקס היחידות

היחידות של צפיפות התפלגות המהירויות p הן הופכיות ליחידות של הספיקה, דבר שנובע מהדרישה לנירמול $1=\int _{-\infty }^{\infty }p({\vec {u}})d{\vec {u}}$. נובע מכך כי $[p]=[u]^{-d_{\kappa }}$ ואילו מתוך משוואת האנטרופיה מתקבל כי $[p]=[u]^{-d_{\kappa }/{q}}$. כלומר מתקבל כי האנטרופיה תלויה ביחידות המהירות.

המקור לבעיית היחידות נובע משימוש לא נכון של צפיפות ההסתברות כהסתברות חסרת ממדים פשוטה. הפתרון לפרדוקס מגיע מתוך התייחסות לסקאלת מהירות קטנה $\sigma _{u}$ שמאפיינת את המערכת, בה ניתן לקרב את צפיפות ההסתברות לערך קבוע, כך שהצפיפות בטווח הקטן $(u_{i},u_{i}+\sigma _{u})i:1,2,...,d_{\kappa }$ תירשם כ- $p({\vec {u}})\cdot \sigma _{u}^{d_{\kappa }}$. והוגדר מחדש $1=\int _{-\infty }^{\infty }p({\vec {u}})\cdot \sigma _{u}^{d_{\kappa }}d\Omega$ כאשר $d\Omega \equiv {\dfrac {d{\vec {u}}}{\sigma _{u}^{d_{\kappa }}}}={\tfrac {du_{1}}{\sigma _{u}}}{\tfrac {du_{2}}{\sigma _{u}}}\cdot \cdot \cdot {\tfrac {du_{d_{\kappa }}}{\sigma _{u}}}$. $\sigma _{r}\approx b$ או $\sigma _{r}\approx \lambda _{D}$ ; $\sigma _{u}\approx h/(m\sigma _{r})$ תחת ההגדרות:

• $\sigma _{r}$ – סקאלת אורך של המערכת. באופן כללי, $b<\sigma _{r}<\lambda _{D}$
• $\lambda _{D}$ – אורך דביי, כאשר תחומי דבאי מלאים בחלקיקים קשורים
• b – המרחק בין החלקיקים כאשר אין ביניהם אינטראקציה.

דוגמאות לשימוש בהתפלגות קאפא

בהתבסס על פונקציית התפלגות קאפא הבאה :$f_{i}^{\kappa }(r,v)={\tfrac {n_{i}}{2\pi (\kappa w_{i\kappa }^{2})^{3/2}}}{\tfrac {\Gamma (\kappa +1)}{\Gamma (\kappa -1/2)\Gamma (3/2)}}{\biggl (}1+{\tfrac {v^{2}}{\kappa w_{\kappa i}^{2}}}{\biggl )}^{-(\kappa +1)}$

עבור אינדקס קאפא המינימלי והקריטי $\kappa _{c}=3/2$, פונקציית ההתפלגות קורסת והטמפרטורה לא מוגדרת. כל אינדקס גדול מהערך הקריטי קובע את המדרון של ספקטרום האנרגיה עבור חלקיקים סופר-תרמיים (בעלי אנרגיה גדולה מזו הקשורה לישות דומה שנוצרת על ידי עירור תרמי) שיוצרים את הזנב של פונקציית ההתפלגות בתמונה.

טבלת השוואה בין מושגים פיזיקליים לפי התפלגות מקסוול ולפי התפלגויות קאפא

פרמטר	מקסוול	קאפא
צפיפות המספר	$n(r)=n_{0}\exp {\biggl (}-{\frac {R(r)}{w^{2}}}{\biggl )}$	$n(r)=n_{0}{\biggl (}1+{\frac {R(r)}{\kappa w^{2}}}{\biggl )}^{-\kappa +1/2}$
טמפרטורה	$T(r)=T_{0}$	$T(r)=T_{0}{\frac {\kappa }{\kappa -3/2}}{\biggl (}1+{\frac {R(r)}{\kappa w^{2}}}{\biggl )}$
שטף הבריחה	$F(r)={\frac {n_{0}w(1+v_{e}^{2}/w^{2})}{2\pi ^{1/2}}}\exp {\bigl (}{-{\tfrac {v_{e}^{2}}{w^{2}}}}{\bigl )}$	$F(r)={\frac {n_{0}A_{k}w(1+v_{e}^{2}/w^{2})}{4(\kappa -1)\kappa ^{1/2}[1+v_{e}^{2}/(\kappa w^{2})]^{\kappa }}}$

• $R(r)$ – האנרגיה הפוטנציאלית (מכילה את השפעות הכבידה, הכוח האלקטרוסטטי והצנטריפוגלי) התלויה במרחק הרדיאלי
• $w_{\kappa i}={\sqrt {(2\kappa -3)\kappa T_{i}/\kappa m_{i}}}$ – מהירות תרמית (מהירות החלקיקים בחומר במצב מסוים)
• $\kappa$ – אינדקס קאפא
• $n_{i}$ – צפיפות המספר של החלקיקים
• $v_{e}$ – מהירות המילוט

$A_{k}\equiv {\tfrac {\Gamma (\kappa +1)}{\Gamma (\kappa -1/2)\Gamma (3/2)}}$

מתוך הביטויים לשטף הבריחה שמופיע בטבלה ניתן לומר כי בהתחשב בחלקיקים הנמלטים כרוח פלנטרית או כוכבית, התפלגות קאפא מניבה שטף גבוה יותר מאשר הביטוי המקסווליאני, מכיוון שיותר חלקיקים סופר-תרמיים מסוגלים לברוח. התופעה מכונה נידוף באור.

דוגמה נוספת היינה התפלגות קאפא עם אינדקס $2<\kappa <6$ הנותנת התאמה נכונה בהתבוננות על נתוני לוויין עבור רוח השמש, המגנטוספירה וגיליון הפלזמה על כדור-הארץ, יריעות פלזמה (יריעות בתוך המגנטוספירה המכילות פלזמה צפופה וחמה מאוד עם שדה מגנטי חלש ליד קו המשווה השמימי), חגורות ואן אלן וכו'.

פונקציית ההתפלגות קאפא ה-4 פרמטרית, K4D

באנגלית; four-parameter kappa distribution.

פונקציית ה-K4D היא הכללה מאוד גנרית שכוללת בתוכה מספר מקרים מיוחדים של התפלגויות הסתברות והמכלילה, בין היתר, את התפלגות הקאפא עם שלושה פרמטרים של P.W.

את פונקציית הקאפא הזו ניתן להתאים עם ארבעה פרמטרים לנתונים ניסיוניים או להשתמש בה כמקור לנתונים מלאכותיים במחקרי סימולציה, ובצירוף עם האינפורמציה של פישר ליצור מודלים, לדוגמה מקסימום שנתי של משקעים.

אף על פי שהיא הומצאה על מנת למדל נתונים הידרולוגיים ניתן ליישם אותה במגוון רחב של תחומים הנעים בין אקטואריה, כלכלה, רפואה ותאוריית ערך הקיצון.

פיתוח וקשר בין K4D לאינפורמציה של פישר

פונקציית צפיפות ההסתברות של K4D מוגדרת עבור $\alpha >0,-\infty <x<\infty$ לפי:

$f(x)=\alpha ^{-1}{\begin{cases}[1-\kappa y]^{(1/\kappa )-1}[F(x)]^{1-h}&{\text{if }}\kappa \neq 0,h\neq 0\\{}[1-\kappa y]^{(1/\kappa )-1}F(x)&{\text{if }}\kappa \neq 0,h=0\\\exp(-y)[F(x)]^{1-h}&{\text{if }}\kappa =0,h\neq 0\\\exp(-y)F(x)&{\text{if }}\kappa =0,h=0\end{cases}}$

כאשר $y=(x-\xi )/\alpha$ וכאשר $F(x)=\{1-h[1-\kappa (x-\xi )/\alpha ]^{1/\kappa }\}^{1/h}$ עבור $\kappa \neq 0,h\neq 0$ והמקרה הפרטי של $\kappa =0,h=0$ כלולים באופן עקיף כגבול הרציף של $F(x)$.

$\xi$ - פרמטר מיקום

$\alpha$ - פרמטר סולם ( scale parameter)

$\kappa$ - פרמטר צורה (פרמטר שאינו פרמטר מיקום או סולם)

עבור נתוני תצפית ${\bar {x}}=(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ תחת הנחה כי $\kappa \neq 0,h\neq 0$ ניתן להגדיל את פונקציית הנראות הלוגריתמית השלילית עבור $\theta =(\xi ,\alpha ,h,\kappa )$ כך:

$\lambda =-\log L(\theta |{\bar {x}})=n\ln \alpha +{\tfrac {\kappa -1}{\kappa }}\sum _{i=1}^{n}\displaystyle \ln[1-\kappa (x_{i}-\xi )/\alpha ]+{\tfrac {h-1}{h}}\sum _{i=1}^{n}\displaystyle \ln[F(x_{i})]^{h}$ מכאן מטריצת האינפורמציה של פישר מתקבלת על ידי סכימה מ־i=1 ועד ל-n עבור כל אלמנט של מטריצת ההסיאן של $l=-lnf(x)$ לפי $\theta$.

ראו גם

• תורת הבקרה
• פיזיקה סטטיסטית
• אנרגיה חופשית של גיבס
• התפלגות מקסוול-בולצמן
• האינפורמציה של פישר

קישורים חיצוניים

• H. K. Khalil, Nonlinear systems, Prentice-Hall 2001. Sec. 4.4 - Def. 4.2.
• G. Livadiotis, Kappa Distributions, Chapter 4 - Formulae of Kappa Distributions: Toolbox, George Livadiotis, Elsevier ,2017 ,pages 177 - 246 Kappa Distribution, Chapter 4
• Livadiotis, George. (2014). “Lagrangian Temperature”: Derivation and Physical Meaning for Systems Described by Kappa Distributions. Entropy. 16. 4290-4308. 10.3390/e16084290. Lagrangian Temperature