רזולוציה חופשית

באלגברה, רזולוציה חופשית היא רזולוציה באמצעות מודולים חופשיים. בדרך כלל מופיעות רזולוציות כאלה בהקשר הרחב יותר של רזולוציות פרויקטיביות, אבל לצורך חישוב מעשי יש לרזולוציות חופשיות יתרונות לא מבוטלים; אכן, עד שהובן תפקידם הכללי של המודולים הפרויקטיביים באלגברה הומולוגית (באמצע שנות ה-50 של המאה ה-20), נלמדו בעיקר רזולוציות חופשיות. רזולוציות חופשיות מילאו תפקיד מרכזי בעבודות של הילברט על שמורות פולינומיות.

הגדרה

יהי $M$ מודול מעל חוג $R$. רזולוציה חופשית היא סדרה מדויקת מהצורה $\dots F_{n}\rightarrow \dots \rightarrow F_{1}\rightarrow F_{0}\rightarrow M\rightarrow 0$, שבה המודולים $F_{i}$ חופשיים. אם יש למודול רזולוציה סופית, האורך של הרזולוציה הקצרה ביותר (היינו, האינדקס האחרון $n$ שעבורו $F_{n}\neq 0$) הוא הממד ההומולוגי של $M$. למשל, אם $M$ חופשי, הממד ההומולוגי שלו הוא אפס. משפט ה-Syzygy של הילברט (שאותו הוא הוכיח בהקשר של שמורות פולינומיות) קובע שלכל חוג מנה מדורג של חוג פולינומים $A$ יש ממד הומולוגי סופי. למעשה, הממד ההומולוגי של מנה $B$ מקיים $\dim(A)-\dim(B)\leq hd_{A}(B)\leq \dim(A)$, עם שוויון באגף שמאל בדיוק כאשר $B$ הוא חוג כהן-מקולי.

רזולוציה שבה הדרגה של כל $F_{i}$ היא הנמוכה ביותר האפשרית (תחת האילוץ שכך התקיים עבור המרכיבים הקודמים), נקראת רזולוציה מינימלית. רזולוציה כזו היא יחידה, והדרגות של המודולים המשתתפים בה הם מספרי בטי של המודול. תכונות נוספות של הרזולוציה מוליכות להגדרות של חוג גורנשטיין, חיתוך מלא ועל-משטח.

תחום שלמות נתרי בעל התכונה שלכל מודול נוצר סופית יש רזולוציה חופשית סופית, הוא תחום פריקות יחידה.

מקורות

• History of Homological Algebra, by Chuck Weibel; pp.797-836 in "The History of Topology", ed. I.M. James, Elsevier, 1999.

ראו גם

• שמורה פולינומית