חוג כהן-מקולי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת החוגים, חוג כהן-מקולי הוא חוג נתרי קומוטטיבי, שהמיקומים שלו באידאלים מקסימליים הם בעלי סדרות רגולריות ארוכות "ככל האפשר" (ראו הגדרה בהמשך). חוגי כהן-מקולי מופיעים בהקשרים גאומטריים, קוהומולוגיים וקומבינטוריים. לדוגמה, חוג השמורות הפולינומיות ביחס לפעולה של חבורה סופית הוא תמיד כהן-מקולי.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

סדרות רגולריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

סדרת איברים באידאל I של חוג קומוטטיבי R היא סדרה רגולרית אם לכל i, הוא רגולרי (כלומר, אינו מחלק אפס) בחוג המנה . לכל הסדרות הרגולריות המקסימליות אותו אורך, והוא אינו יכול לעלות על ממד קרול של החוג.

למשל, בתת-החוג של חוג הפולינומים בשני משתנים מעל השדה F, האבר הוא רגולרי, אבל בחוג המנה כפל באיבר (שאינו אפס) שולח לאפס כל איבר של האידאל המקסימלי הטבעי; לכן 1 הוא האורך המקסימלי של סדרה רגולרית באידאל הזה, בעוד שהחוג עצמו מממד 2.

חוגי כהן-מקולי[עריכת קוד מקור | עריכה]

חוג נתרי קומוטטיבי מקומי הוא חוג כהן-מקולי אם יש לו סדרה רגולרית שאורכה שווה לממד שלו. חוג נתרי קומוטטיבי הוא כהן-מקולי אם כל מיקום שלו באידאל מקסימלי מקיים תכונה זו.

דוגמאות ופעולות מותרות[עריכת קוד מקור | עריכה]

כל חוג מקומי רגולרי הוא כהן-מקולי. כל חוג קומוטטיבי ארטיני הוא כהן-מקולי. כל תחום שלמות נתרי בעל ממד קרול 1 הוא כהן-מקולי.

חוג קומוטטיבי נתרי R הוא כהן-מקולי אם ורק אם חוג הפולינומים הוא כזה. כל מיקום של חוג כהן-מקולי R הוא כהן-מקולי בעצמו. אם R הוא כהן-מקולי ו- אידאל מגובה n, אז הסדרה רגולרית, והמנה היא כהן-מקולי. ההשלמה ה-M-אדית של חוג מקומי היא כהן-מקולי אם ורק אם החוג עצמו הוא כזה.

אם R חוג כהן-מקולי ו-G חבורה סופית הפועלת על R שסדרה הפיך ב-R, אז גם חוג השמורות הוא כהן-מקולי. בפרט, חוג השמורות הפולינומיות ביחס לפעולה של חבורה סופית (עם סדר זר למאפיין של שדה הבסיס) הוא כהן-מקולי. תכונה זו נכונה לכל חבורה רדוקטיבית (חבורה שכל הצגה סוף-ממדית שלה מתפרקת לסכום ישר של הצגות אי-פריקות) הפועלת על חוג פולינומים מעל שדה סגור אלגברית.

פירוש קוהומולוגי[עריכת קוד מקור | עריכה]

לאורך המקסימלי של סדרה רגולרית ב-I יש פירוש קוהומולוגי: הוא שווה לערך הקטן ביותר של i שעבורו .

גרותנדיק הוכיח שבכל חוג קומוטטיבי נתרי מקומי, אם t הוא האורך המקסימלי של סדרה רגולרית ו-d הוא הממד, אז שווה לאפס עבור i מחוץ לקטע , ושונה מאפס בקצוות.

חוגי גורנשטיין[עריכת קוד מקור | עריכה]

חוג כהן-מקולי מקומי R, עם אידאל מקסימלי M, נקרא חוג גורנשטיין אם ההשלמה ה-M-אדית של R שווה ל-, כאשר E הוא הסגור האינג'קטיבי של המודול .

כל חוג מקומי רגולרי הוא גורנשטיין. יהי F שדה, אז חוג טורי החזקות הפורמליים הוא גורנשטיין אבל אינו רגולרי. חוג טורי החזקות הפורמליים הוא כהן-מקולי אבל אינו גורנשטיין.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]