שבר דיאדי – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־20:08, 11 בספטמבר 2022

שבר דיאדי הוא שבר שהמכנה שלו הוא חזקה של 2. 1/2, 3/2, ו-3/8 הם דוגמאות לשבריים דיאדיים, ואילו 1/3 אינו שבר דיאדי.

לשברים דיאדיים נודעת חשיבות במדעי המחשב, משום שהם השברים היחידים ייצוג בינארי במספר סופי של ספרות. שברים דיאדיים משמשים גם במידות ומשקלות, במוזיקה ובראשית לימודי המתמטיקה. שברים דיאדיים יכולים לשמש כקירוב של כל מספר ממשי.

הסכום, ההפרש והמכפלה של כל שני שברים דיאדיים אף הם שברים דיאדיים. חלוקה של שבר דיאדי בשבר דיאדי אחר לא בהכרח תיתן שבר דיאדי (דוגמה: 5/2 : 3/2 = 5/3. המשמעות של תכונות אלה היא ששברים דיאדיים יוצרים חוג, שנהוג לסמנו $\mathbb {Z} [{\tfrac {1}{2}}]$ .

לשברים דיאדיים מקום מרכזי ביצירתם של סולנואיד דיאדי (אנ'), פונקציית סימן השאלה של מינקובסקי, גלוני דובישי (אנ'), חבורות תומפסון (אנ'), מספרים סוריאליסטים ועוד.

שימושים

במדידה

מערכות מסורתיות שונות של מידות ומשקלות מבוססות על הרעיון של חצייה מחזורית, שיוצרת סדרה של שברים דיאדיים. החלוקה המקובלת של גלון, לחצי גלון, קוורט (רבע גלון), פינט (שמינית גלון) ואונקיית נוזל (1/16 של פינט, שהם 1/128 של גלון) היא סדרה של שברים דיאדיים.

במחשוב

מחשבים מבוססים על בסיס בינארי, ולכן שברים דיאדיים ניתנים לחישוב ישיר ופשוט באמצעות המחשב. בפרט מספרים בנקודה צפה מוגדרים פעמים רבות כשלמים המוכפלים בחזקה (חיובית או שלילית) של 2. גם מספרים בנקודה קבועה מבוססים ברוב המקרים על חזקות של 2. שברים דיאדיים משמשים גם במודלים תאורטיים של מספרים חשיבים.

במוזיקה

במוזיקה המערבית נהוג לחלק את המקצב (משכי הצלילים) על בסיס המספר שתיים או שלוש. החלוקה לשתיים נפוצה יותר ברוב המכריע של הסגנונות. היא פשוטה יותר, ומופיעה להלן:

שלם (1) - משכו ארבעה רבעים, או שני חצאים, כך שהוא ממלא תיבה נפוצה (של 4/4 - "ארבעה רבעים") שלמה.
חצי (1/2) - חצי משלם, כלומר שני רבעים.
רבע (1/4) - רבע משלם
שמינית (1/8)
חלק שש-עשרה (1/16)
חלק שלושים-ושתיים (1/32)
וכן הלאה.

${ \new PianoStaff << \new Staff \relative c'' { \set Staff.midiInstrument = #"violin" \clef treble \tempo 8 = 126 \time 3/16 r16 <d c a fis d>\f-! r16\fermata \| \time 2/16 r <d c a fis d>-! \time 3/16 r <d c a fis d>8-! \| r16 <d c a fis d>8-! \| \time 2/8 <d c a fis>16-! <e c bes g>->-![ <cis b aes f>-! <c a fis ees>-!] } \new Staff \relative c { \set Staff.midiInstrument = #"violin" \clef bass \time 3/16 d,16-! <bes'' ees,>-! r\fermata \| \time 2/16 <d,, d,>-! <bes'' ees,>-! \| \time 3/16 d16-! <ees cis>8-! \| r16 <ees cis>8-! \| \time 2/8 d16\sf-! <ees cis>-!->[ <d c>-! <d c>-!] } >> }$
קטע מתוך "פולחן האביב" מאת איגור סטרווינסקי, שבו המקצב מצוין בשברים דיאדיים

הגדרה ואריתמטיקה

שבר דיאדי הוא מספר רציונלי המתקבל מחילוק של מספר שלם בחזקה של 2. שבר מצומצם $p/q$ הוא שבר דיאדי כאשר $q$ הוא חזקה של 2. הגדרה שקולה היא הקביעה ששבר דיאדי הוא מספר ממשי בעל ייצוג בינארי סופי.^[1]

חיבור, חיסור וכפל של שברים דיאדיים נותן שבר דיאדי, לפי הנוסחאות הבאות:

{\begin{aligned}{\frac {a}{2^{b}}}+{\frac {c}{2^{d}}}&={\frac {2^{d-\min(b,d)}a+2^{b-\min(b,d)}c}{2^{\max(b,d)}}}\\[6px]{\frac {a}{2^{b}}}-{\frac {c}{2^{d}}}&={\frac {2^{d-\min(b,d)}a-2^{b-\min(b,d)}c}{2^{\max(b,d)}}}\\[6px]{\frac {a}{2^{b}}}\cdot {\frac {c}{2^{d}}}&={\frac {ac}{2^{b+d}}}\end{aligned}}

חלוקה של שבר דיאדי בשבר דיאדי אחר לא בהכרח תיתן שבר דיאדי. דוגמה: 1 ו-3 הם שברים דיאדיים, אך 1/3 אינו שבר דיאדי.

הערות שוליים

^ Ko, Ker-I (1991), Complexity Theory of Real Functions, Progress in Theoretical Computer Science, Boston, Massachusetts: Birkhäuser Boston, Inc., pp. 41–43, doi:10.1007/978-1-4684-6802-1, ISBN 0-8176-3586-6, MR 1137517, S2CID 11758381

[1] Ko, Ker-I (1991), Complexity Theory of Real Functions, Progress in Theoretical Computer Science, Boston, Massachusetts: Birkhäuser Boston, Inc., pp. 41–43, doi:10.1007/978-1-4684-6802-1, ISBN 0-8176-3586-6, MR 1137517, S2CID 11758381

[1]

@@ שורה 31: / שורה 31: @@
 | קטע מתוך "[[פולחן האביב]]" מאת [[איגור סטרווינסקי]], שבו המקצב מצוין בשברים דיאדיים
 |}
+==הגדרה ואריתמטיקה==
+שבר דיאדי הוא [[מספר רציונלי]] המתקבל מ[[חילוק]] של [[מספר שלם]] בחזקה של 2. שבר מצומצם <math>p/q</math> הוא שבר דיאדי כאשר <math>q</math> הוא חזקה של 2. הגדרה שקולה היא הקביעה ששבר דיאדי הוא [[מספר ממשי]] בעל ייצוג בינארי סופי.{{הערה|{{citation
+ | last = Ko | first = Ker-I
+ | doi = 10.1007/978-1-4684-6802-1
+ | isbn = 0-8176-3586-6
+ | location = Boston, Massachusetts
+ | mr = 1137517
+ | pages = 41–43
+ | publisher = Birkhäuser Boston, Inc.
+ | series = Progress in Theoretical Computer Science
+ | title = Complexity Theory of Real Functions
+ | url = https://books.google.com/books?id=QJnVBwAAQBAJ&pg=PA41
+ | year = 1991| s2cid = 11758381
+ }}}}
+[[חיבור]], [[חיסור]] ו[[כפל]] של שברים דיאדיים נותן שבר דיאדי, לפי הנוסחאות הבאות:
+: <math>\begin{align}
+\frac{a}{2^b}+\frac{c}{2^d}&=\frac{2^{d - \min(b,d)}a + 2^{b - \min(b,d)}c} {2^{\max(b,d)} } \\[6px]
+\frac{a}{2^b}-\frac{c}{2^d}&=\frac{2^{d - \min(b,d)}a - 2^{b - \min(b,d)}c} {2^{\max(b,d)} } \\[6px]
+\frac{a}{2^b}\cdot \frac{c}{2^d} &= \frac{ a c}{2^{b+d}}
+\end{align}</math>
+חלוקה של שבר דיאדי בשבר דיאדי אחר לא בהכרח תיתן שבר דיאדי. דוגמה: 1 ו-3 הם שברים דיאדיים, אך 1/3 אינו שבר דיאדי.
+==הערות שוליים==
+{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}
 [[קטגוריה:שברים]]

	הערך נמצא בשלבי עבודה: כדי למנוע התנגשויות עריכה ועבודה כפולה, אתם מתבקשים שלא לערוך את הערך בטרם תוסר ההודעה הזו, אלא אם כן תיאמתם זאת עם מניח התבנית.
	אם הערך לא נערך במשך שבוע ניתן להסיר את התבנית ולערוך אותו, אך לפני כן רצוי להזכיר את התבנית למשתמש שהניח אותה, באמצעות הודעה בדף שיחתו.	שיחה

הערך נמצא בשלבי עבודה: כדי למנוע התנגשויות עריכה ועבודה כפולה, אתם מתבקשים שלא לערוך את הערך בטרם תוסר ההודעה הזו, אלא אם כן תיאמתם זאת עם מניח התבנית.
אם הערך לא נערך במשך שבוע ניתן להסיר את התבנית ולערוך אותו, אך לפני כן רצוי להזכיר את התבנית למשתמש שהניח אותה, באמצעות הודעה בדף שיחתו.