מספר סוריאליסטי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

מספר סוריאליסטי הינו מבנה קומבינטורי המייצג משחק אסטרטגיה, שאותו ניתן לעתים לפרש כמספר. המספרים הסוריאליסטיים, שהופיעו לראשונה בספרו On Numbers and Games של המתמטיקאי האנגלי-אמריקאי ג'ון קונווי, מהווים מערכת מספרים משוכללת, המכלילה במובנים רבים את מערכות המספרים המוכרות (כגון שדה המספרים הממשיים ואוסף המספרים הסודרים). השם Surreal number רומז לאופי הסוריאלסטי-משהו של הבניה, ולכך שמספרים אלו ניצבים (במידת-מה) מעבר למספרים הממשיים (real numbers).

מערכת המספרים הסוריאליסטיים מאפשרת פיתוח של מערכות המספרים בדרך שונה מזו המקובלת במתמטיקה (והמוצגת בערך מערכות מספרים). בנוסף לכך, היא מהווה כלי תאורטי חשוב בניתוח משחקים, במסגרת תורת המשחקים הקומבינטורית.

משחקים[עריכת קוד מקור | עריכה]

"משחקי אסטרטגיה אבסטרקטיים" הם משחקים שבהם יש שני צדדים (נאמר, L ו-R), הבוחרים לסירוגין מהלך במשחק, תוך ידיעה מלאה על מצב המשחק וללא השפעה של מזל. באופן המשחק המקובל, הצד שאינו יכול לבצע עוד מהלך חוקי, מפסיד. בין הדוגמאות למשחקים כאלה: דמקה, איקס עיגול ונים.

קונווי הבחין שבמשחקים מעין אלה, אין צורך לתאר את המהלכים שיכול לבצע כל שחקן (ובוודאי שלא את כלי המשחק או חוקיו) - די בידיעה מהם מצבי המשחק שאליהם יכול כל שחקן להגיע, בתורו. הפשטה זו מביאה להגדרה של משחק סוריאליסטי כזוג סדור, שכל אחד משני רכיביו הוא קבוצה של משחקים סוריאליסטיים: ברכיב השמאלי מופיעים המשחקים שאליהם יכול להגיע בתור אחד השחקן L, וברכיב הימני המשחקים שאליהם יכול להגיע בתור אחד השחקן R. מקובל לסמן את הקבוצות בין סוגריים מסולסלים, ולהפריד אותן בקו ניצב: \ \{a,b,c,\ldots|x,y,z,\ldots\}. הגדרה זו נדמית מעגלית, אך היא מייצגת מבנה אינדוקטיבי, וניתן בנקל להפוך אותה להגדרה באינדוקציה טרנספיניטית‏‏[1].

לדוגמה, המשחק \ \{|\} מציין משחק נטול מהלכים: כל שחקן שתורו לנוע, יפסיד. נסמן (כמקובל) את המשחק הזה ב-0. במשחק \ \{|0\} יש לצד R מהלך יחיד, המעביר את המשחק ל-0, ואילו לצד L אין מהלכים כלל. אם תורו של L, הוא מפסיד; ואם תורו של R, אז הוא בוחר (בלית ברירה) לעבור ל-0, ואז עובר התור לרשותו של L, המפסיד מיד. משחק זה מבטיח ניצחון לצד R. באופן דומה, המשחק \ \{0|\} מבטיח ניצחון לצד L.

מספרים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ישנם משחקים שאפשר להתאים להם ערך מספרי - האמור לייצג את "טיב המשחק" עבור השחקן L. לדוגמה, \ \{0|\} הוא משחק בעל ערך 1, ו- \ \{0,\{0|\}|\}, \{\{0|\}|\} שניהם בעלי ערך 2. הערך מותאם באופן כזה שאם R יכול להשוות בין המהלכים השונים האפשריים בתורו, הוא יעדיף לבחור בזה שהערך שלו הוא הנמוך ביותר, בעוד ש- L יעדיף תמיד מהלכים בהם הערך הוא הגבוה ביותר.

בתנאים אלה, ההגיון מחייב שערכו של משחק נמוך מכל הערכים שאליהם יכול R להוביל, וגבוה מכל הערכים שאליהם יכול L להוביל. ואכן, כך מוגדר מספר סוריאליסטי: משחק סוריאליסטי הוא מספר, אם כל המצבים שלו הם מספרים, וכל המצבים בימין גדולים מכל המצבים בשמאל. למשל, המשחקים בעלי ערך 2 מתאימים למספר 2, בעוד שהמשחק \ \{0|0\} (שבו הראשון מנצח) אינו בעל ערך מספרי. לצורך כך מוגדר יחס הסדר בין משחקים באופן הרקורסיבי הבא: \ x \leq y אם לא קיים רכיב שמאלי \ x^L כך ש-\ y \leq x^L, ולא קיים רכיב ימני \ y^R כך ש-\ y^R \leq x. אם \ x \leq y ו-\ y \leq x אומרים שהמשחקים שווים (למרות שהם עשויים להיות שונים זה מזה כזוגות של קבוצות).

על אוסף המספרים הסוריאליסטיים אפשר להגדיר באופן רקורסיבי פעולות של חיבור וכפל, ההופכות אותו לשדה סדור (שאינו ארכימדי). החיבור מוגדר לפי x+y = \{x^L+y,x+y^L|x^R+y,x+y^R\}, כאשר \ x^L,x^R הם רכיבי שמאל וימין של x בהתאמה, וכן ל-y; הכפל מוגדר לפי xy = \{x^Ly+xy^L-x^Ly^L, x^Ry+xy^R-x^Ry^R| x^Ly+xy^R-x^Ly^R, x^Ry+xy^L-x^Ry^L\}. השדה מכיל מספרים כגון \ \omega = \{1,2,3,\dots|\}, אבל גם \ \frac{\omega}{2} = \{0,1,2,\cdots|\omega,\omega-1,\omega-2,\cdots\} ואף \ \sqrt{\omega} = \{0,1,2,\cdots|\omega,\frac{\omega}{2},\frac{\omega}{4},\cdots\}.

שדה המספרים הסוריאליסטיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

האוסף של כל המספרים הסוריאליסטיים גדול כל כך, עד שאינו מהווה קבוצה, אלא מחלקה (כך לפי הפרדוקס של בורלי-פורטי, משום שכל מספר סודר הוא מספר סוריאליסטי). האוסף הזה הוא "שדה סדור אוניברסלי": כל שדה סדור ניתן לשיכון (יחיד) בתוכו.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ ‏On Numbers and Games, John Conway, Appendix to Part Zero.‏