בסיס בינארי

		יש להשלים ערך זה: ערך זה עשוי להיראות מלא ומפורט, אך עדיין חסר בו תוכן מהותי. סיבה: הערך כתוב בצורת מדריך ולא כערך אנציקלופדי. השוו לוויקיפדיה האנגלית. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.
		הנכם מוזמנים להשלים את החלקים החסרים ולהסיר הודעה זו. שקלו ליצור כותרות לפרקים הדורשים השלמה, ולהעביר את התבנית אליהם.	עריכה

בסיס בינארי היא שיטת ספירה לפי בסיס 2, שפותחה על ידי המתמטיקאי גוטפריד וילהלם לייבניץ במאה ה-17. בייצוג זה קיימות רק שתי ספרות: "0" ו-"1", ובאמצעותן ניתן לבטא כל מספר טבעי.

בשיטה זו, ערכה של כל ספרה "1" הוא $\ 2^n$ כאשר n הוא מיקום הספרה מימין, החל מ-0.

לדוגמה, הייצוג של המספרים הטבעיים הקטנים מ-8 יהיה:

ייצוג בינארי של מספרים מ-0 עד 7

בסיס בינארי משמש כיום בעיקר בתחום מדעי המחשב, זאת כיוון שבמעגלים לוגיים אלקטרוניים נוח להסתפק בהבחנה בין שתי רמות מתח בלבד, גבוה ונמוך, המיוצגות על ידי "1" ו-"0" בהתאמה. ולכן זהו הבסיס הטבעי להביע בו מספרים במחשב המורכב ממעגלים כאלו.

מאפיינים נוספים ייחודיים לשיטה זו הם הדמיון שלה לבסיס הסטנדרטי באלגברה לינארית, וכן היותה הבסיס הנמוך ביותר בשימוש נפוץ בייצוג מספרים.

קיימות שיטות ייצוג אחרות, המבוססות על הבסיס הבינארי, כמו קוד גריי, שיטת המשלים ל-2 המאפשרת ייצוג מספרים שליליים, או ייצוג נקודה צפה של מספרים רציונליים.

באנר של המרכז הבינתחומי הרצליה, המזמין תלמידים למפגש בעניין לימודי תואר שני במדעי המחשב. תאריך המפגש מופיע בבסיס בינארי (המדוקדד בקוד BDC) , ופירושו 1/4/08

מעבר ממספרים בינאריים למספרים עשרוניים

בסיס הספירה העשרונית הוא 10, משום שלספירה זו 10 סימנים.
פירוק מספר עשרוני:

$\!\, 1452=1\cdot1000+4\cdot100+5\cdot10+2=1\cdot10^3+4\cdot10^2+5\cdot10^1+2\cdot10^0$

אנו רואים כי הבסיס המשותף לכל האיברים הוא 10. בסיס הספירה הבינארית הוא 2 (לספירה זו שני סימנים), לכן נפרק את המספר הבינארי הבא בהתאם לפירוק המספר העשרוני:

$\!\, 1101 = 1\cdot2^3+1\cdot2^2+0\cdot2^1+1\cdot2^0= 8+4+0+1=13$

מכאן שהמספר 1101 בספירה בינארית שקול למספר 13 בספירה עשרונית.
לכן נציג נוסחה כללית, למעבר מספרה המוצגת בבסיס בינארי לבסיס עשרוני (באגף השמאלי מופיע המספר בספרות בינאריות, ומימין משמעותו בספרות עשרוניות):

$\!\, a_1a_2a_3...a_n = a_1\cdot2^{n-1} + a_2\cdot2^{n-2} + a_3\cdot2^{n-3} +... + a_n\cdot2^0$

או בנוסחת הנסיגה כשX מייצג את מס' הספרות של המס' הבינארי וY מייצג את הערך העשרוני של המס' הבינארי ללא הספרה השמאלית ביותר וידוע ש a(0) = 0 ו- a(1) = 1

$a(n) = 2^{X-1} + Y$

לדוגמה

$a(1101) = 2^3 + a(101) = 8 + 5 = 13$

$a(101)= 2^2 + a(01) = 4 + 1 = 5$

$a(01) = 1$

מעבר ממספרים עשרוניים למספרים בינאריים

מעבר ממספר עשרוני למספר בינארי יתבצע באמצעות המרה של המספר העשרוני למספרים בחזקת 2 (בסיס 2) וסידורם בסדר כרונולוגי. דוגמה: ניקח את המספר 73. תחילה נמצא את החזקה בבסיס 2 הקרובה ביותר למספר (אך קטנה ממנו). החזקה הקטנה ביותר המתאימה היא: $\!\, 2^6=64$ כדי להגיע למספר 73 נצטרך להוסיף עוד חזקות בעלות בסיס 2. נבדוק אם $\!\, 2^5$ יתאים לנו:

$\!\, 2^6 + 2^5 = 64 + 32 = 96 > 73$

קיבלנו מספר גדול מהמספר 73. לכן יש לחפש חזקה קטנה יותר.נבדוק אם $\!\, 2^4$ יתאים לנו:

$\!\, 2^6 + 2^4 = 64 + 16 = 80 > 73$

קיבלנו מספר גדול מהמספר 73. לכן יש לחפש חזקה קטנה יותר.נבדוק אם $\!\, 2^3$ יתאים לנו:

$\!\, 2^6 + 2^3 = 64 + 8 = 72 < 73$

המספר 72 קטן מהמספר 73, לכן החזקה $\!\, 2^3$ מתאימה לנו. כדי להגיע מ-72 ל-73 נצטרך להוסיף עוד מספר. ברור כי $\!\, 2^2$ ו- $\!\, 2^1$ לא יתאימו לנו, אבל $\!\, 2^0=1$ יתאים לנו. ולכן פירוק המספר 73 לחזקות בעלות בסיס 2 הוא: $\!\, 73 = 2^6 + 2^3 + 2^0$
כדי להגיע למספר הבינארי המתאים, נוסיף את החזקות החסרות בין החזקות הללו:

$\!\, 73 = 1\cdot2^6 + 0\cdot2^5 + 0\cdot2^4 + 1\cdot2^3 +0\cdot2^2 +0\cdot2^1+ 1\cdot2^0$

כלומר, חזקות שהשתמשנו בהן, הוכפלו ב-1 וחזקות שלא השתמשנו בהם, הוכפלו ב-0. המספר הבינארי שלנו מורכב מהמקדמים של מספרי החזקות. מכאן ש-73 בספירה בינארית הוא: $\!\, 1001001$

שיטה נוספת למעבר ממספרים עשרוניים למספרים בינאריים

שיטה נוספת, וקלה יותר,להמרת מספרים מבסיס עשרוני לבסיס בינארי מתבצעת על ידי חלוקה חוזרת של המספר העשרוני ב-2 ובדיקת השארית.

נדגים את השיטה:
כדי להמיר את המספר העשרוני 73 לבסיס בינארי נחלק אותו ב-2.
התוצאה תהיה 36 ושארית של 1 (שהרי 36x2 + 1 = 73).
משמעות השארית 1 היא שבבסיס בינארי הספרה הימנית ביותר היא 1.
נמשיך ונחלק את התוצאה 36 ב-2.
קיבלנו 18 ושארית 0. לכן, עד כה ההמרה הבינארית שלנו היא 01.
נמשיך ונחלק את התוצאה 18 ב-2.
קיבלנו 9 ושארית 0. לכן, עד כה ההמרה הבינארית שלנו היא 001.
נמשיך ונחלק את התוצאה 9 ב-2.
קיבלנו 4 ושארית 1. לכן, עד כה ההמרה הבינארית שלנו היא 1001.
נמשיך ונחלק את התוצאה 4 ב-2.
קיבלנו 2 ושארית 0. לכן, עד כה ההמרה הבינארית שלנו היא 01001.
נמשיך ונחלק את התוצאה 2 ב-2.
קיבלנו 1 ושארית 0. לכן, עד כה ההמרה הבינארית שלנו היא 001001.
נמשיך ונחלק את התוצאה 1 ב-2.
קיבלנו 0 ושארית 1. לכן, עד כה ההמרה הבינארית שלנו היא 1001001.

למעשה, כעת ניתן להמשיך ולחלק את 0 ב-2 אינספור פעמים אך התוצאה תמיד תשאר אפס ושארית אפס.
ולכן זהו המספר הסופי בבסיס בינארי: 1001001

(אם נמשיך את החלוקה ב-2 נקבל את המספר 000001001001..., השווה למספר המצומצם 1001001.)

טבלת המרה בין בסיסי מספרים נפוצים

עשרוני:	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
הקסדצימלי:	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10
אוקטלי:	0	1	2	3	4	5	6	7	10	11	12	13	14	15	16	17	20
בינארי:	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111	10000

ראו גם

• סיבית
• בסיס אוקטלי
• בסיס הקסדצימלי
• משלים ל-1
• משלים ל-2
• מונחים בתוכנה

קישורים חיצוניים

• המחשה אינטראקטיבית של ספירה בבסיס בינארי והקסדצימלי מתוך אתר לילדים המלמד מושגים במדעי המחשב