אוטומורפיזם

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, אוטומורפיזם של מבנה מתמטי הוא פונקציה מבנה לעצמו, השומרת על כל פרטי המבנה, והפיכה ככזו. כך למשל, אוטומורפיזם של חבורות הוא פונקציה הפיכה השומרת על פעולת הכפל, אוטומורפיזם של מרחב וקטורי הוא פונקציה הפיכה השומרת את החיבור והכפל בסקלר, ואוטומורפיזם של מרחב מטרי הוא פונקציה שומרת מרחק מן המרחב על עצמו. אוטומורפיזם של מרחב טופולוגי הוא פונקציה רציפה ופתוחה (לא די בכך שהפונקציה תהיה רציפה והפיכה, משום שעל הפונקציה ההפוכה להיות רציפה בעצמה).

לפונקציה בין שני מבנים מאותו סוג, השומרת על הפעולות, היחסים והקבועים, קוראים הומומורפיזם. לפיכך, אוטומורפיזם הוא הומומורפיזם הפיך ממבנה אל עצמו. לפונקציה בין שני מבנים מאותו סוג ששומרת מבנה והיא גם הפיכה קוראים איזומורפיזם ולכן אוטומורפיזם הוא איזומורפיזם מהמבנה אל עצמו.

אוסף האוטומורפיזמים של מבנה הוא תמיד חבורה (ביחס לפעולת ההרכבה), משום שהרכבת שתי פעולות השומרות תכונה מסוימת שומרת גם היא את אותה תכונה. לדוגמה, אם

\ f(x+y)=f(x)+f(y)

לכל x ו- y, וגם

\ g(x+y)=g(x)+g(y)

לכל x ו- y, אז

\ (f\circ g)(x+y) = f(g(x+y)) = f(g(x)+g(y)) = f(g(x))+f(g(y)) = f \circ g (x) + f \circ g (y)

הפונקציה ההפוכה לפונקציה השומרת תכונה, שומרת גם היא את אותה תכונה. את חבורת האוטומורפיזמים של מבנה X מסמנים בדרך-כלל בסימון \ \operatorname{Aut}(X).

חבורת האוטומורפיזמים כוללת את הסימטריות של המבנה; למבנים סימטריים יש חבורת אוטומורפיזמים גדולה ולהפך. במקרים רבים, כדי להבין אובייקט מתמטי, יש להכיר גם את חבורת האוטומורפיזמים שלו.

באופן טבעי, התורה המתמטית הרלוונטית ביותר לחקר חבורות של אוטומורפיזמים היא תורת החבורות, ובמסגרתה יש מעמד מיוחד לחבורות אוטומורפיזמים של חבורות: אלו נקראות פשוט חבורות אוטומורפיזמים.

בתורת גלואה, חבורת האוטומורפיזמים של שדה K, כאלגברה מעל תת-שדה F, נקראת חבורת גלואה של ההרחבה \ K/F. חבורה זו כוללת את כל הפונקציות ההפיכות מן השדה לעצמו, השומרות על החיבור והכפל, ומכבדות את הכפל בסקלר; התכונה האחרונה שקולה לכך שהאוטומורפיזם מעביר את אברי F לעצמם.