אלגברה מדורגת

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, אלגברה מדורגת היא אלגברה (אסוציאטיבית או לא אסוציאטיבית), שיש לה מבנה נוסף, הנקרא דירוג. מבנים כאלה שכיחים בגאומטריה אלגברית, בתורת החוגים, באלגברה הומולוגית ובקומבינטוריקה.

מושגי יסוד[עריכת קוד מקור | עריכה]

אלגברה מדורגת היא אלגברה \ A שיש לה פירוק לסכום ישר \ A = A_0 \oplus A_1 \oplus A_2 \oplus \cdots של מרחבים וקטוריים, באופן שמתיישב עם פעולת הכפל: \ A_n A_m \subseteq A_{n+m}. כל אחד מן המרכיבים \ A_n נקרא מרכיב הומוגני, והאיברים של המרכיבים האלה הם איברים הומוגניים. כל איבר של האלגברה אפשר לפרק לסכום (סופי) של איברים הומוגניים מדרגות שונות. הדרגה של איבר הומוגני ב- \ A_n היא n. את ההנחה על פעולת הכפל אפשר לכתוב כך: \ \deg(ab) = \deg(a)+\deg(b) לכל שני איברים הומוגניים a,b.

מחלקות מסוימות בתורת החוגים אפשר להכליל למקרה המדורג, אם מגבילים את הדרישות לאיברים הומוגניים. כך למשל, אלגברה מדורגת קומוטטיבית שבה כל האברים ההומוגניים הפיכים היא שדה מדורג.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הדוגמה המוכרת ביותר לאלגברה מדורגת היא אלגברת הפולינומים מעל השדה, \ A = F[x]. האלגברה הזו מתפרקת לסכום ישר \ A = \bigoplus_{n=0}^{\infty} F x^n, כאשר \ Fx^n = \{\alpha x^n\} הוא אוסף המונומים ממעלה n. פונקציית הדרגה מתאימה לפונקציית המעלה המוכרת, לפחות עבור איברים הומוגניים: \ \deg(\alpha x^n) = n.

את התאור הזה אפשר להכליל לאלגברות פולינומים בכמה משתנים: \ A = F[x_1,\dots,x_k] מדורגת למרכיבים, כאשר \ A_n הוא המרחב של כל הפולינומים ההומוגניים ממעלה (כוללת) n; למשל, כאשר k=2, \ A_3 = F x_1^3+Fx_1^2x_2+Fx_1x_2^2+Fx_2^3. כמקודם, הדירוג מבוסס על העובדה שאם f,g שני פולינומים הומוגניים, אז הדרגה של המכפלה fg שווה לסכום המעלות. באופן כללי יותר, אפשר לקבוע לכל משתנה "משקל" אחר; למשל, אפשר לדרג את \ A=F[x,y] באופן שהדרגה של \ x היא 2, והדרגה של \ y היא 3 (הדרגה של כל מונום מחושבת לפי הנחות אלה: \ \deg(x^iy^j) = 2i+3j). הדרגות היסודיות משנות את הדירוג, וכעת הוא \ A = F \oplus 0 \oplus F x \oplus Fy \oplus Fx^2 \oplus Fxy \oplus (Fx^3+Fy^2) \oplus \cdots.

אלגברה חופשית (בכל יריעה של אלגברות שהזהויות המגדירות אותה הן הומוגניות) ניתנת לדירוג טבעי, בדומה לזה של פולינומים.

כל אלגברה A אפשר לדרג דירוג טריוויאלי, אם בוחרים \ A_0 = A ו- \ A_n = 0 לכל \ n>0. דירוג כזה אינו מוסיף מידע על האלגברה, אבל הוא מראה שהתאוריה של אלגברות מדורגות מכילה, במובן מסוים, את התאוריה הכללית של אלגברות.

אידאלים ומודולים[עריכת קוד מקור | עריכה]

אידאל I של אלגברה מדורגת הוא אידאל מדורג, אם הוא מתפרק לסכום ישר \ I = \oplus (I \cap A_n); במלים אחרות, הוא נוצר על ידי איברים הומוגניים. במקרה כזה, גם חוג המנה \ A/I הוא מדורג, \ A/I = \oplus A_n/(I \cap A_n).

אפשר להגדיר מודול מדורג, ולפתח את התאוריה של המודולים מדורגים בדומה לזו של מודולים שאינם מדורגים.

דירוג על-פי מונואיד כללי[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהגדרה שניתנה לעיל, האינדקסים של המרכיבים ההומוגניים הם המספרים הטבעיים, והדרגה מתאימה לחיבור של מספרים טבעיים. באופן כללי יותר, אפשר להגדיר אלגברה מדורגת ביחס ל-M, כאשר M הוא מונואיד (בדרך-כלל דורשים שיהיה קומוטטיבי), כאלגברה המתפרקת לסכום ישר \ A = \oplus_{g \in M} A_g, כאשר \ A_g A_h \subseteq A_{g+h} בהתאם לפעולת החיבור במונואיד.

המקרים החשובים ביותר הם דירוג ביחס למספרים הטבעיים, דירוג ביחס ל- \ A = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} (אלו נקראות בדרך-כלל סופר-אלגברות), ודירוג ביחס לחבורת המספרים השלמים.

הנחות נוספות על המונויד משפיעות על התאוריה של האלגברות המדורגות לפיו. בפרט, יש הבדלים תאורטיים בין דירוג ביחס לחבורה לדירוג ביחס למונויד סדור.

דירוג ביחס לחבורה[עריכת קוד מקור | עריכה]

בדירוג ביחס לחבורה G מבחינים בכמה סוגים: האלגברה מדורגת חזק (strongly graded) אם \ A_g A_h = A_{g+h} (שוויון, ולא הכלה סתם); האלגברה נקראת מכפלה משולבת אם כל מרכיב הומוגני כולל איבר הפיך; הדירוג נקרא עדין אם המימד של מרכיב הומוגני הוא 0 או 1 (אם כל הממדים 1, האלגברה מוכרחה להיות מכפלה משולבת).

לדוגמה, כל אלגברת חבורה \ F[G] מדורגת באופן עדין ביחס לחבורה המתאימה.

משפט של Bahturin-Sehgal-Zaicev מאפיין את כל הדירוגים האפשריים של אלגברה פשוטה מממד סופי ביחס לחבורה סופית.