גל רוסבי

במכניקת הזורמים, ובפרט במדעים פלנטריים בתחומים של מדעי האטמוספירה ואוקיינוגרפיה פיזיקלית, גל רוסבי הוא כינוי לתופעה בו מתפתחות הפרעות בכיוונים צפון-דרום בזרם הזורם בציר מערב-מזרח. הפרעות אלו מתקדמות בהתאם למשוואת גלים. גל רוסבי נוצר כתוצאה מהשינוי בפרמטר קוריוליס כתלות בקו-הרוחב. אורך הגל האופייני שלו הוא מאות קילומטרים, ומהירות תנועת הגל היא מטרים בודדים בשנייה. גלי רוסבי זוהו לראשונה באטמוספירת כדור הארץ על ידי קרל גוסטב ארוויד רוסבי במאמר מ-1939, בו הוא הסביר גם את מקורם.

גלי רוסבי מופיעים בזרימת מים באוקיינוסים, בעיקר בשכבת התרמוקלינה. הם משפיעים על טמפרטורת המים ועל תופעת הגאות והשפל ותורמים להתפתחות תופעת אל ניניו. גלי רוסבי מופיעים גם בזרימת אוויר באטמוספירה, ובפרט בזרימת זרם הסילון. כאשר הם חזקים מספיקים, הם באים לידי ביטוי כהפרעות דמויות נפתולי ענק בצורת זרם הסילון, וככאלה יש להם השפעה רבה על מזג האוויר; בין היתר, הם גורמים לאוויר קר לנוע מהקטבים כלפי קו המשווה ולאוויר חם לנוע מקו המשווה לכיוון הקטבים.

הופעת גלי רוסבי דורשת שלחוק קוריוליס תהיה משמעות רבה על אופני התנועה, לכן מספר רוסבי של הגלים חייב להיות נמוך. בנוסף נדרש שכוחות הצמיגות יהיו זניחים, אחרת הצמיגות תשכך את הגלים, לכן מספר אקמן חייב להיות נמוך אף הוא. תנאים אלו מתקיימים רק בגלים ארוכים מסדר גודל של מאות קילומטרים.

הסבר[עריכת קוד מקור | עריכה]

כאשר מסתכלים על השפעת סיבוב כדור הארץ על אלמנט זורם, מנקודת מבט של מערכת אינרציאלית (מערכת שלא מסתובבת) נקבל שהחלק של האלמנט הקרוב יותר לקוטב נע במהירות נמוכה יותר מהחלק הקרוב יותר לקו המשווה. מנקודת מבט זאת, סיבוב כדור הארץ גורם לסיבוב של אלמנט הזורם סביב עצמו, בנוסף לתנועתו הקווית של האלמנט במהירות הרדיאלית של סיבוב כדור הארץ בקו הרוחב בו האלמנט נמצא. הסיבוב של האלמנט סביב עצמו קטן מאוד כאשר אלמנט הזורם קרוב לקו-המשווה וההפרש בין מהירויות הזרימה הוא קטן. הסיבוב מקסימלי כאשר אלמנט הזורם נמצא על הקוטב, שם אלמנט הזורם מסתובב סביב עצמו פעם ה-24 שעות. אם נסתכל על הקוטב הצפוני מלמעלה, חלקיק זורם הנמצא בקוטב יסתובב נגד כיוון השעון.

כעת נסתכל על אלמנט זורם בחצי הכדור הצפוני (ניתן לבנות טיעון דומה עבור חצי הכדור הדרומי באמצעות סימטריית ראי) הנמצא בקו רוחב מסוים ונזיז אותו לכיוון הקוטב. אלמנט הזורם הזה מסתובב יותר לאט כנגד כיוון השעון ביחס לאלמנטי הזורם שסביבו, הסיבוב העצמי היחסי הזה יגרום לאלמנט הזורם לחוש כוח שיפעל להזזתו מערבה. באופן דומה, הזזה של האלמנט דרומה תגרום לו להסתובב מהר יותר כנגד כיוון השעון, בחינה זהירה של הזרימה תגלה שגם אלמנט כזה ירגיש כוח מערבה. העובדה שבשני המקרים הכוח מערבה אף על פי שכיוון הסיבוב היחסי הוא הפוך ניתנת להקבלה לכך שכאשר גלגל מתגלגל על הרצפה נגד כיוון השעון הוא יתגלגל שמאלה, לעומת זאת כאשר אותו גלגל יתגלגל על התקרה יש לגלגלו עם כיוון השעון כדי לגלגלו שמאלה. הזזת אלמנט המים דרומה דומה לגלגול של הגלגל על הרצפה, ואילו הזזתו צפונה דומה להזזתו על התקרה.

ההסבר המובא לעיל התייחס לתנועת של אלמנטי הזורם ביחס למערכת אינרציאלית, מבחינה מתמטית נוח יותר לבצע את החישובים במערכת כדור הארץ המסתובבת. במערכת זו, אלמנטי זורם במנוחה לא מסתובבים סביב עצמם. הם חשים כוח וירטואלי - כוח קוריוליס המדמה את תנועת הסיבוב. התנועה על הציר צפון דרום משפיעה על פרמטר קוריוליס, ויוצרת את התקדמות הגלים מערבה.

פיתוח מתמטי[עריכת קוד מקור | עריכה]

נסמן במערכת צירים מקומית את ציר מזרח-מערב כציר ה- $x$ ואת ציר צפון דרום כציר ה- $y$ , הציר ממרכז כדור הארץ אל הנקודה יסומן כציר ה- $r$ . נסתכל בזרם בציר מזרח-מערב בעל מהירות ממוצעת $U{\hat {x}}$ , ונניח שמהירות זו מופרעת בהפרעות קטנות $u_{x}{\hat {x}}+u_{y}{\hat {y}}$ כך ש- $u_{x},u_{y}\ll U$ . בהתאם למשפט פואנקרה-ביירקנס הערבוליות המוכללת (Potential vorticity) המוגדרת על ידי ${\boldsymbol {\eta }}=\nabla \times \left(\mathbf {u} +{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} \right)$ היא גודל משתמר עבור כל אלמנט זורם. בחינה זהירה של הרכיב הרדיאלי (היוצא ממרכז כדור הארץ כלפי חוץ) של גודל זה נותנת:

\eta _{r}=\left(\nabla \times \mathbf {u} +2{\boldsymbol {\Omega }}\right)\cdot {\hat {r}}=\partial _{x}u_{y}-\partial _{y}u_{x}+2\Omega \sin \varphi =-\nabla ^{2}\psi +f

כאשר ${\boldsymbol {\psi }}=\psi {\hat {r}}$ היא פונקציית הזרם המקיימת $\mathbf {u} =\nabla \times {\boldsymbol {\psi }}$ ו- $f=2\Omega \sin \varphi$ היא תדירות קוריוליס המקומית.

על פי משפט פואנקרה-ביירקנס הנגזרת החומרית של הערבוליות המוכללת של אלמנט זורם מתאפסת; בפרט, הרכיב הרדיאלי שלה קבוע בזמן, ולכן נקבל:

{\frac {D\eta _{r}}{Dt}}={\frac {\partial \eta _{r}}{\partial t}}+(U+u_{x}){\frac {\partial \eta _{r}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial \eta _{r}}{\partial y}}=-{\frac {\partial \nabla ^{2}\psi }{\partial t}}-U{\frac {\partial \nabla ^{2}\psi }{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial f}{\partial y}}=0

כאשר הזנחנו איברים מסדר שני. נגדיר כעת את פרמטר רוסבי $\beta ={\frac {\partial f}{\partial y}}={\frac {2\Omega \cos \varphi }{R_{\rm {earth}}}}$ ונשתמש בהגדרת פונקציית הזרם כדי לקבל:

{\frac {\partial \nabla ^{2}\psi }{\partial t}}+U{\frac {\partial \nabla ^{2}\psi }{\partial x}}+\beta {\frac {\partial \psi }{\partial x}}=0

זוהי משוואת הגלים המגדירה את גלי רוסבי. נציב גל נוסע מהצורה $\psi =\psi _{0}e^{i(kx+\ell y-\omega t)}\!$ , ונקבל שיחס הנפיצה של משוואה זו הוא:

\omega =Uk-\beta {\frac {k}{k^{2}+\ell ^{2}}}

כאשר $k$ הוא מספר הגל בכיוון $x$ ו- $\ell$ הוא מספר הגל בכיוון $y$ .

מהירות הפאזה של הגל היא:

c=U-\beta {\frac {1}{k^{2}+\ell ^{2}}}

ומהירות החבורה היא:

c_{g}=U-\beta {\frac {\ell ^{2}-k^{2}}{(k^{2}+\ell ^{2})^{2}}}

פרמטר רוסבי הוא חיובי לכל קו רוחב, ובהתאם לכך, מהירות הפאזה היא תמיד שלילית (זורמת מערבה) ביחס לזרימה של הזרם העיקרי, בשני חצאי כדור הארץ, בעוד מהירות החבורה יכולה להיות חיובית או שלילית בהתאם ליחס בין מספרי הגל. בדרך כלל $k$ קטן והגל מתקדם מערבה.