השערת ברטראן

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

השערת ברטראן היא משפט שניסח לראשונה המתמטיקאי הצרפתי ז'וזף ברטראן בשנת 1845, בצורת השערה. לפי טענה זו, לכל מספר טבעי n הגדול מ-3, קיים לפחות מספר ראשוני אחד בקטע \left(n, 2n-2\right). ניסוח אחר ו"אלגנטי" יותר של ההשערה, אם כי חלש יותר, הוא: לכל מספר טבעי n הגדול מ-1, קיים לפחות מספר ראשוני אחד בקטע \left(n, 2n\right).

ברטראן העלה השערה זו לראשונה ב-1845, ואף וידא את תקפותה לכל n טבעי קטן מ-3 מיליון. למעשה השם "השערה" אינו מתאר נכונה טענה זו, שכן בשנת 1850 הציג המתמטיקאי הרוסי פפנוטי צ'בישב הוכחה מלאה לטענה, ועל כן היא בגדר משפט. לפיכך, היא נקראת לעתים "משפט ברטראן-צ'בישב" או "משפט צ'בישב". המתמטיקאי ההודי סריניוואסה רמנוג'אן הציג בשנת 1919[1] הוכחה פשוטה יותר למשפט, הנעזרת בתכונות של פונקציית גמא, ופאול ארדש הציג בשנת 1932 הוכחה פשוטה מזו, הנעזרת בפונקציית צ'בישב[2] ובמקדמים בינומיים.

הוכחה חלקית[עריכת קוד מקור | עריכה]

הוכחה זו חלקית: היא אינה קבילה מבחינה מתמטית, אך היא חזקה מספיק בשביל להוות בסיס להוכחה קבילה:

לפי משפט המספרים הראשוניים, מספר המספרים הראשוניים הקטנים או שווים ל-x שווה בקירוב ל: \frac{x}{\ln x}. פורמלית, הוא אומר שהגבול: \lim_{n \to \infty}\frac{\pi(n)}{\frac{n}{\ln n}} שווה ל-1. הפונקציה ln x מסמלת את הלוגריתם הטבעי. הפונקציה \pi(x) מסמלת את פונקציית ספירת הראשוניים הקטנים או שווים ל-x.

כעת, משום שהביטוי מספק קירוב טוב מאוד למספר הראשוניים הקטנים או שווים ל-x, נוכל לחשב בקירוב טוב את היחס בין מספר הראשוניים עד 2n, לבין מספר המספרים הראשוניים עד n. נקבל: \frac{\frac{2n}{\ln {2n}}}{\frac{n}{\ln n}} = 2 \frac{\ln n}{\ln {2n}}. כאשר n שואף לאינסוף, היחס בין המונה למכנה בשבר שואף ל-1 (משום ש: \frac{\ln n}{\ln {2n}} = \frac{\ln n}{\ln n + \ln 2}) ולכן היחס הכללי שואף ל-2.

מכאן, שמספר הראשוניים בין n ל-2n שווה בקירוב סביר למספר הראשוניים הקטנים מ-n. מכיוון שזהו קירוב, התוצאה לא חלה על המספרים הטבעיים החל מ-3 אלא החל ממספר טבעי גדול יותר. מעשית, המספר הקטן ביותר שהחל ממנו הקירוב "צודק" ונותן את התוצאה המבוקשת (מספר ראשוני בין n לבין 2n - 2) לא כ"כ גדול (משום שהיחס בין הקירוב שלנו לבין היחס המדויק, \frac{\pi(2n - 2)}{\pi(n)}, קרוב מאוד ל-1 כבר עבור מספרים קטנים יחסית), כך שניתן, כאשר המספר הנ"ל ידוע, לאמת את נכונות המשפט עבור המספרים הקטנים ממנו באמצעות מחשב או ידנית.

למעשה, משום שהמספר לא נתון ו/או גודלו לא הוכח, לפחות לא בקטע זה, לא ניתן לבדוק את נכונות הטענה עבור המספרים הקטנים ממנו באמצעות מחשב או ידנית, וזה החלק הלא קביל בהוכחה. אך ההוכחה החלקית מוכיחה תוצאה דומה, אם כי חלשה יותר, באופן קביל מתמטית: עבור מספר גדול מספיק, יש מספר ראשוני בקטע: (n, 2n - 2).

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ הוכחתו של רמנוג'אן, שהוצגה בז'ורנל איגוד המתמטיקה ההודי בשנת 1919
  2. ^ פונקציית צ'בישב מסומנת \vartheta(x) וערכה  \vartheta(x) = \sum_{p=2}^{x} \ln (p) , כאשר האינדקס p רץ על מספרים ראשוניים בלבד
P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.