השערת ברטראן

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

השערת ברטראן היא משפט שניסח לראשונה המתמטיקאי הצרפתי ז'וזף ברטראן בשנת 1845, בצורת השערה. לפי טענה זו, לכל מספר טבעי n הגדול מ-3, קיים לפחות מספר ראשוני אחד בקטע \left(n, 2n-2\right).

ברטראן העלה השערה זו לראשונה ב-1845, ואף וידא את תקפותה לכל n טבעי קטן מ-3 מיליון. למעשה השם "השערה" אינו מתאר נכונה טענה זו, שכן בשנת 1850 הציג המתמטיקאי הרוסי פפנוטי צ'בישב הוכחה מלאה לטענה, ועל כן היא בגדר משפט. לפיכך, היא נקראת לעתים "משפט ברטראן-צ'בישב" או "משפט צ'בישב". המתמטיקאי ההודי סריניוואסה רמנוג'אן הציג בשנת 1919[1] הוכחה פשוטה יותר למשפט, הנעזרת בתכונות של פונקציית גמא, ופאול ארדש הציג בשנת 1932 הוכחה פשוטה מזו ‏[2], הנעזרת בפונקציית צ'בישב[3] ובמקדמים בינומיים.

נימוק היוריסטי[עריכת קוד מקור | עריכה]

ממשפט המספרים הראשוניים נובעת טענה חזקה בהרבה: לכל \ \epsilon>0, אם n גדול מספיק אז יש ראשוניים בקטע (n,n+\epsilon n). הסיבה לכך היא שלפי המשפט, מספר המספרים הראשוניים הקטנים או שווים ל-x הוא בקירוב \ \pi(x) \sim \frac{x}{\ln x}. (הפונקציה ln x מסמלת את הלוגריתם הטבעי. הפונקציה \pi(x) מסמלת את פונקציית ספירת הראשוניים הקטנים או שווים ל-x.

המשפט מאפשר לחשב בקירוב את מספר הראשוניים בקטע. נקבל: \ \pi((1+\epsilon)n) - \pi(n) \sim \frac{(1+\epsilon)n}{\ln (1+\epsilon)n} - \frac{n}{\ln n} = \frac{n}{\ln n}\left(\frac{1+\epsilon}{\ln(1+\epsilon)n/\ln n} - 1\right) \sim \frac{\epsilon n}{\ln n}. כאשר n שואף לאינסוף, ההפרש -- שהוא מספר הראשוניים בקטע -- שואף לאינסוף.

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ הוכחתו של רמנוג'אן, שהוצגה בז'ורנל איגוד המתמטיקה ההודי בשנת 1919
  2. ^ P. Erdos, Acta Litt. Ac. Sci (Szegd) 5 (1932), 194-198. Also see Hardy and Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, subsection 22.3.
  3. ^ פונקציית צ'בישב מסומנת \vartheta(x) וערכה  \vartheta(x) = \sum_{p<x} \ln (p) , כאשר האינדקס p רץ על מספרים ראשוניים בלבד
P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.