מכפלה ריקה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, מכפלה ריקה היא מכפלה ללא גורמים, והיא שווה ליחידה הכפלית, 1. המכפלה הריקה מוגדרת כדי לשמור על העקביות של תכונות שימושיות הקשורות בכפל.

לאחר שמגדירים מכפלה של קבוצת מספרים, טבעי להגדיר מכפלה של קבוצה ריקה של מספרים. מסתבר שההגדרה הכי טבעית למכפלה ריקה היא איבר היחידה 1, האדיש לכפל. זאת באופן דומה להגדרת הסכום הריק כאיבר היחידה החיבורי, 0.

צורות מוכרות של המכפלה הריקה הן הטענות \ a^0=1 לכל a שונה מאפס, \ 0!=1 (אפס עצרת) ו-\prod_{i=m}^{n} x_{i}=1 לכל n<m. הגדרות אלו עקביות עם התכונות של הפעולות הללו. לדוגמה לפי חוקי חזקות: \ a^0 = a^{1-1} = a^1\cdot a^{-1}= a/a = 1.

משפטים רבים מניחים את קיום המכפלה הריקה. לדוגמה קיומה של המכפלה הריקה מאפשר את תקפות המשפט היסודי של האריתמטיקה לכל מספר טבעי כולל 1.

אפס בחזקת אפס[עריכת קוד מקור | עריכה]

בעוד מספר בחזקת אפס מוגדר תמיד כמכפלה ריקה בתנאי שהוא שונה מאפס, לביטוי 00 אין הגדרה חד-משמעית.

מצד אחד, ישנם תחומים בו הביטוי מוגדר כמכפלה ריקה. לדוגמה בתורת הקבוצות ובקומבינטוריקה תוצאת הפעולה ab מוגדרת כמספר הפונקציות מקבוצה עם b איברים לקבוצה עם a איברים. הגדרה זו מתלכדת עם ההגדרה האינטואיטיבית של חזקות ובנוסף היא מגדירה את השוויון \ 0^0 = 1, שכן בין שתי קבוצות ריקות קיימת פונקציה יחידה: הפונקציה הריקה. קיימים תחומים נוספים שבהם שימושי להגדיר \ 0^0 = 1, למשל בבינום של ניוטון (במקרה ואחד המחוברים שווה ל-0).

מצד שני, ישנם טיעונים בזכות חוסר הגדרה של הביטוי. לדוגמה לפי חוקי חזקות שהודגמו קודם \ a^0 =  a/a , ביטוי שאם נציב בו a=0 נקבל חלוקה באפס שהיא פעולה לא מוגדרת. באנליזה ניתן למצוא גבולות רבים הנותנים תוצאות שונות לביטוי 00 ולכן בתחום זה נהוג שלא להגדיר את הביטוי.

הכללות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מההגדרה הפורמלית של המכפלה הקרטזית, כאוסף כל פונקציות הבחירה מקבוצת האינדקסים, נובעת הזהות:

\prod_{i \in \varnothing} X_i = \{ f_\varnothing: \varnothing \to \varnothing \}

כלומר מכפלה קרטזית ריקה של קבוצות היא יחידון שאיברו היחיד הוא הפונקציה הריקה. אם נפעיל על השוויון את כללי האריתמטיקה של עוצמות נקבל כי מכפלה ריקה של עוצמות, ובכללם מכפלה ריקה של מספרים טבעיים, שווה לעוצמת היחידון, שהיא 1.

באופן כללי מגדירים לרוב תוצאה ריקה של פעולה בינארית בתור האיבר הנייטרלי של הפעולה. לדוגמה חיתוך ריק של תת-קבוצות של קבוצה X שווה לקבוצה X עצמה.