חבורה פשוטה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, חבורה פשוטה היא חבורה \ G\ne \{e\} שאין לה תת חבורה נורמלית לא טריויאלית, כלומר תת-החבורות הנורמליות היחידות שלה הן \ G ו-\ \{e\}.

לפי משפט ז'ורדן-הולדר ההצגה של חבורה סופית \ G על ידי סדרת הרכב היא יחידה, כאשר הגורמים של סדרת ההרכב הן חבורות פשוטות. מכאן החשיבות הרבה שיש לחבורות פשוטות בתור אבני הבניין של כל החבורות הסופיות, בדומה למספרים הראשוניים שמרכיבים את המספרים השלמים.

המיון של החבורות הפשוטות הסופיות הושלם ב-1982 לאחר מאמצים משותפים של מתמטיקאים רבים.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

לדוגמה עבור \ n=4 קיימת הסדרה הנורמלית \ S_4\triangleright A_4\triangleright V_4\triangleright \{e,(1\ 2)(3\ 4)\}\triangleright \{e\} כאשר \ A_4 חבורת התמורות הזוגיות מסדר 4 ו-\ V_4 חבורת הארבעה של קליין.

מאידך, עבור \ n\ge 5, \ A_n פשוטה.

לפי משפט פייט-תומפסון, כל חבורה מסדר אי זוגי היא פתירה. משפט זה נחשב לצעד המשמעותי הראשון בהוכחת משפט המיון של החבורות הפשוטות הסופיות. מן המיון השלם עולה כי הסדר של כל חבורה פשוטה, פרט לחבורות סוזוקי, מתחלק ב-3.

מושגים קרובים[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם G חבורה מושלמת (כלומר, \ [G,G]=G) וחבורת המנה \ G/Z(G) פשוטה, אז החבורה G היא קוואזי-פשוטה (quasisimple). לחבורה פשוטה A, כל תת-חבורה של חבורת האוטומורפיזמים \ \operatorname{Aut}(A) המכילה את כל האוטומורפיזמים של הצמדה נקראות חבורות כמעט פשוטות (almost simple).

לדוגמה, כאשר \ \operatorname{PSL}_n(F) פשוטה, החבורה \ \operatorname{SL}_n(F) היא קוואזי-פשוטה, והחבורה \ \operatorname{PGL}_n(F) כמעט פשוטה.