חבורה פתירה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת החבורות, חבורה פתירה היא חבורה שיש לה סדרת הרכב שכל הגורמים בה אבליים. מקורו של השם בתורת גלואה: אפשר לפתור משוואה פולינומית באמצעות ארבע פעולות החשבון והוצאת שורש (פתרון על ידי רדיקלים), אם ורק אם חבורת גלואה של הפולינום היא חבורה פתירה.

כל חבורה נילפוטנטית (ובפרט, כל חבורה אבלית וכל חבורת p) היא פתירה.

מבוא[עריכת קוד מקור | עריכה]

אחד הרעיונות המרכזיים בתורת החבורות הוא שאפשר ללמוד חבורה באמצעות תת-חבורה נורמלית וחבורת המנה ביחס אליה. כשממשיכים ללמוד כל אחד משני הגורמים האלה באותו אופן, מגיעים לפירוק ל"גורמי הרכב", באמצעות סדרת הרכבמשפט ז'ורדן-הולדר). מגורמי ההרכב ומידע על האינטרקציות ביניהם אפשר, בעקרון, לבנות בחזרה את החבורה. חבורה שכל גורמי ההרכב שלה אבליים, נקראת חבורה פתירה. מאידך, לחבורה שאינה פתירה יש גורם הרכב שהוא חבורה פשוטה לא אבלית.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

אוסף החבורות הפתירות סגור לכמה פעולות יסודיות: כל תת-חבורה (אפילו אינה נורמלית) וכל חבורת מנה של חבורה פתירה הן פתירות; ולהפך, כל הרחבה של חבורות פתירות היא חבורה פתירה. בפרט, המכפלה הישרה של חבורות פתירות היא חבורה פתירה. למעשה, אוסף החבורות הפתירות הוא האוסף הקטן ביותר של חבורות הכולל את החבורות האבליות וסגור להרחבות.

התכונות הבאות משמשות הגדרות שקולות לכך שהחבורה G פתירה:

כל החבורות שסדרן קטן מ-120 הן פתירות, פרט לחבורת התמורות הזוגיות \ A_5, שהיא חבורה פשוטה מסדר 60.

ב-1968 הוכיח תומפסון (Thompson) שאם כל תת-חבורה של חבורה \ G הנוצרת על ידי שני אברים היא פתירה, אז \ G עצמה פתירה. ההוכחה מבוססת על מיון החבורות הפשוטות שכל תת-חבורה שלהן הנוצרת על ידי שני אברים היא פתירה.

פתירות וחבורת הנגזרת[עריכת קוד מקור | עריכה]

בחבורה G אפשר להגדיר סדרה של תת-חבורות נורמליות, לפי הנוסחה \ G^{(n+1)}=[G^{(n)},G^{(n)}], כאשר \ G^{(1)}=G. מכיוון ש- \ G^{(n+1)} היא תת-חבורת הקומוטטורים של \ G^{(n)}, המנות \ G^{(n)}/G^{(n+1)} כולן אבליות, ובמקרה שהן נוצרות סופית, אפשר להציג אותן כסכום ישר של חבורות ציקליות. אם משמיטים את המרכיבים המפותלים מתקבלת חבורה מהצורה \ \mathbb{Z}^{a_n}. הסכום \ a_0+a_1+\cdots\ נקרא דרגת הירש של החבורה. אם לשתי חבורות פתירות נוצרות סופית יש גרפי קיילי קוואזי-איזומטריים, אז יש להן אותה דרגת הירש.

אם תת-חבורת הקומוטטורים אבלית (כלומר \ G'' = 1), החבורה נקראת מטא-אבלית; כל חבורה כזו היא כמובן פתירה. חבורות מטא-אבליות נוצרות סופית הן residually finite, ומקיימות (כמו מודולים נותריים) את תנאי השרשרת העולה.