חבורת הקווטרניונים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
גרף קיילי של חבורת הקווטרניונים. חצים אדומים מייצגים כפל מימין ב-i וחצים ירוקים מייצגים כפל מימין ב-j.

חבורת הקווטרניונים היא חבורה לא אבלית מסדר 8. מקובל לסמן את החבורה Q8 או פשוט Q.

ניתן להציג את החבורה כך: Q = \langle -1,i,j,k \mid (-1)^2 = 1, \;i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 \rangle\,\!. זוהי הצגה נוחה, אך בזבזנית של Q. למעשה החבורה נוצרת גם על ידי שני איברים בלבד, וניתן להציגה כ-\langle x,y \mid x^2 = y^2, y^{-1}xy = x^{-1}\rangle\,\!. x, y הם כל שניים מבין i, j, k. לוח הכפל של החבורה הוא:

× 1 −1 i −i j −j k −k
1 1 −1 i −i j −j k −k
−1 −1 1 −i i −j j −k k
i i −i −1 1 k −k −j j
−i −i i 1 −1 −k k j −j
j j −j −k k −1 1 i −i
−j −j j k −k 1 −1 −i i
k k −k j −j −i i −1 1
−k −k k −j j i −i 1 −1

חברות הקווטרניונים עומדת בבסיס אלגברת הקווטרניונים של המילטון \mathbb{H}. האחרונה היא אוסף הצירופים הלינאריים מעל הממשיים של איברי חבורת הקווטרניונים. כלומר: \mathbb{H} = \{a+ib+jc+kd \mid a,b,c,d \in \mathbb{R} \}.

הצגה לינארית[עריכת קוד מקור | עריכה]

חבורת הקווטרניונים ניתנת להצגה לינארית כתת חבורה של \ \mathrm{SL}_{2}(\mathbf{C}), החבורה הלינארית המיוחדת מסדר 2 מעל המרוכבים, הכוללת את איברי החבורה הלינארית הכללית \ \mathrm{GL}_{2}(\mathbf{C}) שהדטרמיננטה שלהם היא 1:

1 \mapsto \begin{pmatrix}
  1 & 0 \\
  0 & 1
\end{pmatrix}, \quad
i \mapsto \begin{pmatrix}
  \sqrt{-1} & 0 \\
  0         & -\sqrt{-1}
\end{pmatrix}, \quad
 j \mapsto \begin{pmatrix}
  0 & 1 \\
  -1 & 0
\end{pmatrix}, \quad
k \mapsto \begin{pmatrix}
  0         & \sqrt{-1} \\
  \sqrt{-1} & 0
\end{pmatrix}

הצגה נוספת של Q היא כתת-חבורה של \ \mathrm{SL}(2,3), חבורת המטריצות 2×2 מעל השדה הסופי מסדר 3 (שאיבריו הם \ -1, 0, 1):

1 \mapsto \begin{pmatrix}
  1 & 0 \\
  0 & 1
\end{pmatrix}, \quad
i \mapsto \begin{pmatrix}
  1 & 1 \\
  1 & -1
\end{pmatrix}, \quad
j \mapsto \begin{pmatrix}
  -1 & 1 \\
   1 & 1
\end{pmatrix}, \quad
k \mapsto \begin{pmatrix}
  0 & -1 \\
  1 & 0
\end{pmatrix}

הצגה זו מראה ש-Q היא תת חבורה נורמלית מאינדקס 3 של \ \mathrm{SL}(2,3) (שהסדר שלה הוא 24).

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

חבורת הקווטרניונים היא החבורה הקטנה ביותר שהיא המילטונית - חבורה לא אבלית שכל התת-חבורות שלה הן נורמליות. כל חבורה המילטונית מכילה את חבורת הקווטרניונים.

המרכז של החבורה הוא {1, −1}. חבורת המנה ביחס למרכז וחבורת האוטומורפיזמים הפנימיים של חבורת הקווטרניונים איזומורפיות לחבורת הארבעה של קליין. חבורת האוטומורפיזם הכללית איזומורפית לחבורה הסימטרית S4 וחבורת האוטומורפיזם החיצונית ל-S3.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]