תת-חבורה נורמלית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באלגברה, תת חבורה נורמלית היא תת חבורה הסגורה תחת פעולת ההצמדה באיברי החבורה החיצונית. חשיבותן העיקרית של תת-חבורות נורמליות היא בכך שניתן להשתמש בהן כדי ליצור חבורת מנה, וכך לפרק את החבורה לשני מרכיבים: תת-החבורה הנורמלית, והמנה ביחס אליה. הרכבת החבורה בחזרה משני מרכיבים אלה נקראת הרחבה של חבורות.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהא \!\, G חבורה ותהא \!\, N\leq G תת-חבורה שלה. לכל איבר \!\, g\isin G , הקבוצה \!\, g^{-1}Ng=\left\{g^{-1}xg|x\isin N\right\} היא ה"הצמדה" של N על ידי g. אם לכל איבר g מתקיים \!\, g^{-1}Ng \subseteq N , אז \!\, N היא תת חבורה נורמלית של \!\, G , ומסמנים N\trianglelefteq G. אם בנוסף N\neq G אז מסמנים N\vartriangleleft G.

הגדרה באמצעות קוסטים[עריכת קוד מקור | עריכה]

קבוצה מהצורה \ Ng = \{xg : x\in N\} או \ gN = \{gx : x\in N\} נקראת "מחלקה" (ימנית או שמאלית, בהתאמה), או "קוסט" של N. תת-החבורה N נורמלית אם ורק אם לכל \!\, g\isin G מתקיים \!\, gN=Ng . במקרה כזה, לכל \!\, g\isin G ולכל \!\, n_1\isin N קיים \!\, n_2\isin N כך ש- \!\, gn_1=n_2g .

מכאן גם רואים ישירות כי בחבורה קומוטטיבית כל תת-חבורה היא נורמלית, כי לכל \!\, g\isin G ולכל \!\, n\isin N מתקיים \!\, ng=gn .

תת-חבורות נורמליות וחבורות מנה[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהינתן חבורה \!\, G ותת חבורה \!\, N\le G , חבורת המנה \!\, G/N מוגדרת היטב אם ורק אם N\trianglelefteq G. הסיבה לכך היא שהנורמליות היא הדרישה השקולה לכך שכפל נציגי הקוסטים השונים יהיה מוגדר היטב: תהי H תת-חבורה של G ויהיו g_1,g_2 \in G. אנו רוצים שהכפל בין הקוסטים יהיה מוגדר היטב באמצעות נציגים, כלומר (g_1 H)(g_2 H) = g_1 g_2 H. נוכיח זאת: יהיו g_1,g_2 \in G איברים כלשהם ב-G. השוויון (g_1 H)(g_2 H) = g_1 g_2 H מתקיים רק אם קיימים h_1,h_2,h_3 \in H כך ש-g_1 h_1 g_2 h_2 = g_1 g_2 h_3, ובאמצעות אלגברה נקבל h_1 g_2 = g_2 h_3 h_2^{-1} , ואם נסמן g = g_2 \in G , \ n_1 = h_1, \ n_2 = h_3 h_2^{-1} \in H נקבל n_1 g = g n_2 לכל g \in G וקיום תנאי זה אומר ש-H היא חבורה נורמלית.

ניתן להראות כי גרעין של הומומורפיזם שתחומו \!\, G הוא תמיד תת-חבורה נורמלית של \!\, G . יותר מכך, ניתן להראות גם כי כל תת-חבורה נורמלית של \!\, G היא גרעין של הומומורפיזם כלשהו שתחומו \!\, G .

הנורמליזטור[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם G חבורה ו- H תת-חבורה, המנרמל (או: הנורמליזטור) של H ב- G הוא תת-החבורה \ N_G(H) = \{x\in G: xHx^{-1} = H\}. זוהי תת-החבורה הגדולה ביותר של G שבתוכה H נורמלית. המְרכז של H, \ C_G(H) = \{x\in G: \forall h \in H, xhx^{-1}=h \}, בוודאי מוכל בנורמליזטור, ואף מתקיים \ C_G(H)\trianglelefteq G. האינדקס של הנורמליזטור ב-G שווה למספר תת-החבורות השונות מהצורה \ xHx^{-1} (היינו, תת-החבורות הצמודות ל-H).

הליבה של חבורה[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם \ H \leq G תת-חבורה (שאינה בהכרח נורמלית), הליבה של H מוגדרת כחיתוך כל תת-החבורות הצמודות לה: \ \operatorname{Core}_G(H) = \bigcap_{g \in G} g H g^{-1}. זוהי תמיד תת-חבורה נורמלית, המוכלת ב- H (ראו גם העידון של משפט קיילי). מכיוון שבחישוב החיתוך די לקחת נציג אחד g מכל קוסט ימני של H, אם H תת-חבורה מאינדקס סופי, אז הליבה שלה היא חיתוך של מספר סופי של חבורות צמודות. מכאן נובע שכל תת-חבורה מאינדקס סופי מכילה גם תת-חבורה נורמלית מאינדקס סופי.

חבורות פשוטות[עריכת קוד מקור | עריכה]

חבורה \!\, G אשר תת-החבורות הנורמליות היחידות שלה הן \!\, G עצמה ו-\!\, \left\{e\right\} נקראת חבורה פשוטה. לחבורות פשוטות חשיבות רבה, שכן הן מהוות את "אבני הבנייה" הבסיסיות של כל החבורות הסופיות, בצורה דומה לזו שבה המספרים הראשוניים מהווים אבני בנייה של המספרים הטבעיים.

תת-חבורות אופייניות[עריכת קוד מקור | עריכה]

תת-חבורה נורמלית של G היא, כאמור, תת-חבורה הנשמרת תחת פעולת ההצמדה בכל איבר של G. סוג חזק במיוחד של תת-חבורה כזו נקרא תת-חבורה אופיינית (או קרקטריסטית): זוהי תת-חבורה הנשמרת תחת כל אוטומורפיזם של G (ולא רק אוטומורפיזם פנימי). באופן כללי, תת-חבורות כאלה מתקבלות מהפעלת שיקולים מבניים (שאינם תלויים בהצגה מסוימת של G). לדוגמה, המרכז של G הוא תת-חבורה אופיינית. גם תת-חבורת הקומוטטורים והאברים האחרים של הסדרה המרכזית היורדת והסדרה המרכזית העולה הם תת-חבורות אופייניות.

לתכונת האופייניות יש יתרון בולט על-פני נורמליות: זוהי תכונה טרנזיטיבית. אם A תת-חבורה נורמלית של B ו- B נורמלית (ואפילו אופיינית) של C, אז A עשויה שלא להיות תת-חבורה נורמלית של C. לעומת זאת, אם A אופיינית ב- B, אז התכונות של B עוברות בירושה ל- A: אם B נורמלית ב- C אז כך גם A, ואם B אופיינית ב- C אז כך גם A.

תת-חבורות תת-נורמליות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם קיימת שרשרת של תת-חבורות \ G_t \leq \cdots \leq G_1 \leq G כך שכל \ G_{i+1} \trianglelefteq G_i, אז אומרים ש- \ G_t תת-חבורה תת-נורמלית של G. לדוגמה, כל תת-חבורה מאינדקס \ p^n, כאשר p ראשוני, היא תת-נורמלית. לכל חבורה H אפשר לבנות את השרשרת \ H \subseteq N_G(H) \subseteq N_G(N_G(H)) \subseteq N_G(N_G(N_G(H))) \subseteq \cdots; בחבורות סופיות, השרשרת נעצרת כאשר מתקבל שוויון בפעם הראשונה; H תת-נורמלית אם ורק אם שרשרת הנורמליזטורים מגיעה לחבורה G.

חיתוך טריוויאלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם החיתוך של תת-חבורה עם כל תת-חבורה צמודה לה הוא טריוויאלי, אומרים שיש לה "חיתוך טריוויאלי"; תכונה זו נמצאת בקוטב המנוגד לנורמליות. חבורה שכל תת-החבורות שלה הן בעלות חיתוך טריוויאלי נקראת "חבורה בעלת חיתוך טריוויאלי", או חבורת TI ‏‏[1].

תת חבורה H של G נקראת מלנורמלית אם כל הצמדה שלה על ידי איבר שאינו שייך ל-H נחתכת עם H רק באיבר היחידה. זהו טיפוס קיצוני של תת-חבורה עם חיתוך טריוויאלי.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ למידע נוסף: Trivial intersection groups, Gary Walls, Archiv der Matheamatic, Vol. 32, pp. 1-4, 1979


מושגי יסוד באלגברה מופשטת

מונואידחבורהחוגתחום שלמותשדהמודולאלגברה (מבנה אלגברי)תורת החבורותתורת גלואהאלגברת ליהומומורפיזםמשפטי האיזומורפיזםתת חבורה נורמליתאידאללוקליזציההצגה לינארית