חוג הערכה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת החוגים, חוג הערכה הוא תחום שלמות המכיל, לכל איבר בשדה השברים שלו, את האיבר או את ההפכי שלו. חוגי הערכה הם המסגרת האלגברית לטיפול בהערכות של שדות.

הקשר להערכות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם \ \nu : F^{\times} \rightarrow \Gamma הערכה לא ארכימדית (כאשר \ \Gamma חבורה אבלית סדורה לינארית), אז אוסף האברים \ \mathcal{O}_{\nu} = \{x\in F: \nu(x) \geq 0\} הוא חוג הערכה; ולהיפך, כל חוג הערכה הוא בעל מבנה כזה, והוא אף קובע את ההערכה המתאימה לו (עד כדי איזומורפיזם של חבורת הערכים).

אם ההערכה לעיל דיסקרטית, חוג ההערכה המתאים לה הוא חוג הערכה דיסקרטית. מבחינה אלגברית, האחרונים מתאפיינים בכך שהם נותריים.

כל תת-חוג נורמלי (כלומר, שלם אלגברית) של שדה הוא חיתוך חוגי ההערכה המכילים אותו. לכן, לכל איבר של שדה השברים הנמצא מחוץ לחוג כזה D, יש הערכה של השדה המזהה את אברי D כשלמים, ואת האיבר כלא-שלם.

מבנה אלגברי[עריכת קוד מקור | עריכה]

כל חוג הערכה הוא תחום בזו מקומי, ולהיפך: תחום בזו מקומי הוא חוג הערכה. חוגי הערכה מתאפיינים גם בכך שקבוצת האידאלים שלהם סדורה לינארית (וגם בכך שקבוצת האידאלים הראשיים שלהם סדורה לינארית).

מן ההגדרה ברור שהתכונה להיות חוג הערכה סגורה להגדלת החוג בתוך שדה השברים שלו. למעשה, אם R חוג הערכה שדה השברים שלו F, אז יש התאמה בין תת-החוגים של F המכילים את R לבין האידאלים הראשוניים של R, המשייכת חוג לאידאל המקסימלי שלו, ואידאל P למיקום \ A_P.

בחוג הערכה, כל רדיקל הוא אידאל ראשוני.