עד כדי (מתמטיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, לביטוי עד כדי יש מובן של ציון חלק מהמאפיינים של גודל או אובייקט, תוך שמאפיינים אחרים מוזנחים בכוונה. בהקשר למאפיין האחרון, שני מספרים ממשיים שווים זה לזה עד כדי סימן, אם הם שווים זה לזה בערכם המוחלט: מספר ממשי נקבע על ידי גודלו והסימן שלו, ושוויון "עד כדי סימן" פירושו שוויון למעט, אולי, במרכיב הסימן.

באופן כללי יותר המושג מאפשר לשייך שני עצמים לאותה מחלקת שקילות, כאשר יחס השקילות מצוין במפורש או במשתמע. "יש שדה סופי אחד מגודל 16, עד כדי איזומורפיזם" - אין פירושו של דבר שכל השדות בגודל 16 שווים זה לזה, אלא שהם איזומורפיים זה לזה. המשפט היסודי של האריתמטיקה קובע שלכל מספר טבעי יש פירוק יחיד לגורמים ראשוניים, עד כדי סדר הגורמים.

כדוגמה נוספת, הדיסקרימיננטה של תבנית ריבועית המוגדרת מעל שדה F היא איבר של השדה, "עד כדי ריבועים" (או: עד-כדי כפל בריבוע). הדיסקרימיננטה איננה איבר מוגדר היטב של החבורה הכפלית \ F^{\times}, אלא של חבורת המנה \ F^{\times}/(F^{\times})^2.

במדעים הניסויים מעוניינים פעמים רבות בחישוב הפתרון "עד כדי סדר גודל", כלומר, עד לשגיאה של פי עשרה לכל כיוון. למשל: רדיוס גרעין האורניום (השווה ל-8\cdot 10^{-15}) הוא " \ 10^{-16} עד כדי סדר גודל". כך למשל, בניסוי רתרפורד נמצא שרדיוס גרעין אטום הזהב הוא \ 10^{-15} עד כדי סדר גודל, ונתון לא-מדויק זה הספיק כדי להפריך את מודל עוגת הצימוקים של תומסון.

כמו כן, משתמשים בביטוי כשמציגים נוסחה בה חסרים מקדמים קבועים. המטרה היא להראות במה תלוי הגודל המבוקש ולא לחשב אותו בדיוק. לדוגמה: נפח של כדור הוא רדיוסו בשלישית עד כדי קבוע ( \ V \sim R^3 והקבוע הוא \ 4 \pi / 3).
עוד דוגמה: U \sim A^2 . האנרגיה הכוללת האגורה במתנד הרמוני פרופורציונית לאמפליטודת התנודות בריבוע עד כדי פקטור \frac{1}{2}K (כאשר k הוא קבוע הקפיץ).