חוג נותרי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באלגברה מופשטת, חוג נותרי הנו חוג עם יחידה המקיים את תנאי השרשרת העולה (ACC - Ascending Chain Condition) על האידאלים השמאליים שלו, כלומר כל סדרה עולה ממש של אידאלים שמאליים בחוג כזה מוכרחה להסתיים. חוגים אלו קרויים על שמה של אמי נתר אשר חקרה חוגים אלה, בעקבות מורה דויד הילברט. מתנאי השרשרת נובע שכל אידאל שמאלי של החוג הוא בעל מספר יוצרים סופי, ועובדה זו מגבילה את הגודל והמורכבות של חוגים נותריים. במידה ידועה, "תורת החוגים" עוסקת בעיקר בחוגים נותריים, משום שחוגים שאינם נותריים הם פראיים ומסובכים מכדי שאפשר יהיה להבין אותם.

אחת התכונות החשובות של חוגים אלה היא שלאידאלים הראשוניים יש גובה סופי - ולכן אפשר ללמוד את הספקטרום באינדוקציה על הממד, דרך שרשראות של אידאלים ראשוניים. גובהם של האידאלים הראשוניים סופי, אבל אינו בהכרח חסום, ולכן ישנם חוגים נותריים שממד קרול שלהם אינסופי. עם זאת, לאלגברות אפיניות (קומוטטיביות), שהן אחד המקורות העיקריים לדוגמאות של חוגים נותריים, יש ממד קרול סופי.

תנאי השרשרת היורדת, שהוא דואלי לתנאי השרשרת העולה, מגדיר חוגים הנקראים ארטיניים. הסימטריה מדומה בלבד: כל חוג ארטיני הוא נותרי (משפט הופקינס-לויצקי). חוגים נותריים מקיימים את תנאי משפט גולדי, על שיכון חוגים ראשוניים (למחצה) בחוגים ארטיניים פשוטים (למחצה).

אוסף החוגים הנותריים סגור ביחס לפעולות אלגבריות מסוימות: חוג מנה של חוג נותרי הוא נותרי, וגם מכפלה ישרה של שני חוגים נותריים היא נותרית. לעומת זאת, (ובניגוד למצב עבור מודולים נותריים), תת-חוג של חוג נותרי אינו בהכרח נותרי. חוג הוא נותרי אם ורק אם כל המודולים הנוצרים סופית מעליו הם נותריים. חוג פולינומים מעל חוג נותרי הוא נותרי, וחוג המטריצות מעל חוג נותרי הוא נותרי.

הגדרות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הנותריות מוגדרת (ברוב הספרים) במונחי האידאלים השמאליים. באופן דומה אפשר להגדיר גם:

  • חוג נותרי-ימני - חוג המקיים את התנאי ACC על אידאלים ימניים
  • חוג נותרי חלש - חוג המקיים את התנאי ACC על אידאלים דו-צדדיים

ישנם חוגים נותריים שאינם נותריים ימניים (ולהפך), אבל בחוגים קומוטטיביים מתלכדות כל התכונות.

קריטריון לחוג נותרי[עריכת קוד מקור | עריכה]

חוג הוא נותרי אם ורק אם הוא נותרי כמודול מעל עצמו (משום שהאידאלים השמאליים של החוג הם תת-המודולים שלו).

  • "תנאי המקסימום" (לאידאלים שמאליים) קובע שבכל קבוצה לא ריקה של אידאלים שמאליים בחוג \ R, קיים איבר מקסימלי, כלומר אידאל שלא מוכל באף אידאל אחר מהקבוצה (אף על פי שאידאל כזה בדרך כלל אינו אידאל מקסימלי). חוג R הוא נותרי אם ורק אם הוא מקיים את תנאי המקסימום על אידאלים שמאליים.

מתנאי המקסימום אפשר להסיק שכל אידאל שמאלי בחוג מוכל באידאל שמאלי מקסימלי; תכונה זו נכונה בכל חוג, על-פי הלמה של צורן.

  • "תנאי הבסיס הסופי": כל אידאל שמאלי \ I ב-\ R נוצר סופית (כלומר קיימים \ a_1, a_2,..., a_n ב-\ R כך ש \ I=Ra_1+Ra_2+...+ Ra_n). החוג R מקיים תנאי זה אם ורק אם הוא נותרי.

משפט. חוג קומוטטיבי הוא נותרי אם ורק אם כל אידאל ראשוני נוצר סופית.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • בחוג נותרי \ R, כל אידאל מכיל מכפלה (סופית) של אידאלים ראשוניים. מוכיחים זאת באמצעות תנאי המקסימום. בפרט, יש מכפלה של אידאלים ראשוניים השווה לאפס (בתחומי-שלמות נותריים אידאל האפס הוא בעצמו ראשוני).
  • כל שדה הוא חוג נותרי. זה נובע מכך שהאידאלים היחידים בשדה הם השדה עצמו ו-\ \{0\}.
  • משפט הבסיס של הילברט: אם \ R חוג נותרי אז \ R[x] חוג נותרי (\ R[x] הוא חוג הפולינומים במספר סופי של משתנים מעל \ R). ניתן להוכיח זאת בשתי דרכים - על ידי תנאי המקסימום ועל ידי תנאי הבסיס הסופי. ההוכחה של הילברט עצמו עושה שימוש ניכר בתנאי הבסיס הסופי.
  • כל תמונה הומומורפית \ R' של חוג נותרי \ R היא נותרית בעצמה. במלים אחרות, אם \ R חוג נותרי ו-\ I אידאל, אז חוג המנה \ R/I גם הוא נותרי. (הוכחה: כל אידאל של חוג המנה הוא תמונה של אידאל של R, הנוצרת על ידי תמונתה של קבוצת יוצרים סופית שם).

משלוש התכונות האחרונות נובע שכל אלגברה קומוטטיבית נוצרת סופית היא נותרית.

הוכחה: נשתמש כאן פעמיים בתנאי ה-ACC של חוג נותרי. נניח ש-a הוא איבר לא הפיך ב-R, ונגדיר את הסדרה \left\{a_n\right\} על ידי הכללים: \ a_1 = a; \ a_n הוא מחלק אמיתי של \ a_{n-1} (מחלק אמיתי - אינו הפיך, וגם המנה ביחס אליו אינה הפיכה). האידאלים מהצורה \ Ra_n יוצרים שרשרת עולה ממש, ולכן, על פי תנאי ה-ACC, זו שרשרת סופית, והאיבר האחרון בה הוא אי-פריק. הוכחנו כי לכל איבר לא הפיך יש מחלק אי-פריק. נשתמש בעובדה זו על מנת ליצור סידרה חדשה \left\{b_n\right\} המוגדרת על ידי: \ b_1 = a; \ b_{n-1} = b_np_n, כאשר \ p_n אי-פריק. קיבלנו ש \ a=p_2 ... p_m b_m הוא מכפלה של איברים אי-פריקים.

  • כל תחום ראשי הוא נותרי (מכיוון שהאידאלים שלו נוצרים סופית).

השערת ג'ייקובסון, השואלת האם \ \bigcap J(R)^n = 0 כאשר \ J(R) הוא רדיקל ג'ייקובסון של החוג, פתוחה עבור חוגים שהם נותריים גם מימין וגם משמאל.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • חוג המספרים השלמים - \ \mathbb{Z}. זה נובע מכך ש-\ \mathbb{Z} הוא תחום ראשי.
  • חוג השלמים ה-p-אדיים \mathbb{Z}_p כאשר \ p ראשוני. בחוג זה כל אידאל נוצר על ידי חזקה של \ p.
  • חוג הפולינומים בשני משתנים מעל שדה המרוכבים: \mathbb{C}[x,y]. בחוג זה כל האידאלים נוצרים סופית. (לפי משפט הבסיס של הילברט).
  • דוגמה לחוג לא חילופי שהוא נותרי-ימני אך לא נותרי שמאלי: נתבונן בחוג מטריצות מגודל \ 2 \times 2 המוגדר: \ R= \begin{pmatrix}
\mathbb{Z} & \mathbb{Q} \\
0 & \mathbb{Q} \\
\end{pmatrix} .
    ניתן לראות שחוג זה אינו נותרי שמאלי אם נתבונן בקבוצת האידאלים הבאה: \ I_n= \{\begin{pmatrix}
0 & \frac{m}{2^n} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix} | m \in \mathbb{Z} \} .
    עבור כל \ n, \ I_n הוא אידאל שמאלי ב- \ R, ומתקיים: \ I_0\subsetneq I_1\subsetneq I_2 \subsetneq ... . יש לנו שרשרת עולה אינסופית של אידאלים שמאליים ומכאן שהחוג אינו נותרי שמאלי. לעומת זאת החוג \ R הוא נותרי ימני (הוכחה).

מקורות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • Oscar Zariski, Pierre Samuel. Commutative Algebra, D.Van Nostrand Company, New Jersey. Chapter 4
  • Louis H.Rowen. Ring Theory, Volume 1, Academic Press, San Diego

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]