לוקליזציה (תורת החוגים)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת החוגים, לוקליזציה (לעתים רחוקות מכונה בעברית מיקום) היא שיטה להוספת איברים הפיכים לחוג. בהינתן חוג R ותת קבוצה של איברי החוג, S, רוצים לבנות חוג חדש *R והעתקת חוגים מ-R ל-*R כך שכל אחד מאיברי S יעבור תחת תמונת העתקה זו לאיבר הפיך ב-*R. יתר על כן, דורשים כי *R יהיה החוג ה"כללי ביותר" המקיים תכונה זאת. בשפה של תורת הקטגוריות אומרים ש-*R הוא פתרון לבעיה אוניברסלית מתאימה. לוקליזציה כזו נהוג לסמן על ידי \,S^{-1}R, או אם \,S= R-\mathfrak{p}, כאשר \mathfrak{p} הוא אידאל ראשוני, על ידי \,R_\mathfrak{p}.

בנייה עבור חוגים קומוטטיביים[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי R חוג קומוטטיבי, ותהי תת-קבוצה S ללא האפס וסגורה כפלית, כלומר, אם a,b \in S אז a \cdot b \in S, וכמו כן נניח כי \,1 \in S. על הקבוצה \,R \times S נחשוב כעל קבוצת שברים \,\frac{r}{s}. נגדיר יחס שקילות על קבוצה זו, על ידי (r_1,s_1) \sim  (r_2,s_2) אם קיים \,t \in S כך ש \,t(r_1s_2-r_2s_1)=0 \in R. אם R תחום שלמות דרישה זו שקולה ל- \,r_1s_2-r_2s_1=0, בדיוק כמו בשוויון של שברים רגילים. איבר האפס בחוג יהיה \frac { 0 }{ 1 } ואיבר היחידה יהיה \frac { 1 }{ 1 } . (חוגים בלי יחידה, ניתן להגדיר את היחידה והאפס למשל כך - \frac { 0 }{ s } ,\frac { s }{ s } , עם s \in S).

על קבוצת המנה \,R \times S / \sim נגדיר פעולות חיבור וכפל על ידי:

 \,\frac{r_1}{s_1}+\frac{r_2}{s_2} = \frac{r_1s_2+r_2s_1}{s_1s_2} \qquad \qquad \frac{r_1}{s_1}\cdot\frac{r_2}{s_2} = \frac{r_1r_2}{s_1s_2}.

על ידי חישוב ניתן לוודא שבדרך זו, קבוצת המנה, המסומנת ב \,S^{-1}R מקבלת מבנה של חוג, הנקרא הלוקליזציה של S.

ההעתקה \,\phi:R \to S^{-1}R הנתונה על ידי \,\phi(r) = \frac{r}{1} היא הומומורפיזם של חוגים, השולח כל איבר ב-S לאיבר הפיך.

כלליות ומינימליות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אחת התכונות המעניינות של החוג שהוגדר היא שהוא החוג ה'מינימלי' בעל תכונת ההפיכות. כלומר, אם קיים חוג R' אחר עם מונומורפיזם \varphi :R\rightarrow R' וכך שתמונות איברי S הפיכים ב R', אז בהכרח קיים מונומורפיזם \psi :{ S }^{ -1 }R\rightarrow R'. כך ש- \varphi =\psi \circ \phi , כאשר \phi הוגדרה לעיל.

הוכחה: נגדיר ישירות את \psi :{ S }^{ -1 }R\rightarrow R' על פי הכלל: \psi (\frac { r }{ s } )=\varphi (r){ \varphi (s) }^{ -1 }. קל לבדוק כי הוא מוגדר היטב, מהווה מונומורפיזם חוגים, והדיאגרמה אכן קומוטטיבית - \psi \circ \phi (r)=\psi (\phi (r))=\psi (\frac { r }{ 1 } )=\varphi (r){ \varphi (1) }^{ -1 }=\varphi (r).

פירוש הטענה הוא שאם כבר הגענו ל"הרחבה" של החוג בה איברי S הפיכים, אז בהכרח עברנו בדרך בחוג השברים { S }^{ -1 }R. יחס זה מאפשר ליצור דיאגרמה קומוטטיבית בין החוגים R,{ S }^{ -1 }R,R', ולמעשה אומר שבנינו הוא אובייקט אוניברסלי, ולכן גם יחיד עד כדי איזומורפיזם.

מבנה כחוג[עריכת קוד מקור | עריכה]

הלוקליזציה מקבלת בירושה תכונות של חוג הבסיס.

ראשית, אם I \le R אידאל, גם S^{-1}I \le S^{-1}R אידאל. בכיוון ההפוך, אם J \le S^{-1}R אידאל, אז J=S^{-1}A עבור A=\{ a \in R : \frac{a}{1} \in J \}. כלומר, יש התאמה בין אידאלים של החוג לאידאלים של הלוקליזציה. למעשה, ההתאמה חזקה יותר - נשים לב שאם I \le R אידאל ו-S \cap I \neq \phi, אז S^{-1}I=S^{-1}R (כי יש בו איבר הפיך).

אם R חוג נותרי או ארטיני, כך גם S^{-1}R.

ישנה גם התאמה מלאה בין הספקטרום של חוג לזה של הלוקליזציה שלו - מתקיים J \in Spec(S^{-1}R) אם ורק אם A=\{ a \in R : \frac{a}{1} \in J \} \in Spec(R). אם נשכח מכל האידאלים שחותכים את S, נקבל שיש התאמה חד חד ערכית \{ A \in Spec(R) : A \cap S= \phi \} \leftrightarrow Spec(S^{-1}R).

התוצאה החשובה ביותר היא שהחוג S^{-1}R הוא חוג מקומי - חוג בו יש אידאל מקסימלי יחיד. במקרה הזה, קבוצת כל האיברים הלא הפיכים מהווה אידאל מקסימלי יחיד. לכן גם סכום של אי-הפיכים הוא לא הפיך.

במקרה שבו S=R-\mathfrak{p} עם אידאל ראשוני \mathfrak{p}, מתקבל החוג R_{\mathfrak{p}}=(R-{\mathfrak{p}})^{-1}R. האידאל המקסימלי הוא \mathfrak{p}R_\mathfrak{p}=S^{-1}\mathfrak{p}.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • יהי R תחום שלמות, ותהי \,S = R-\{0\}. במקרה זה \,S^{-1}R הוא שדה השברים של R.
  • אם R תחום שלמות עם יחידה, אז שדה השברים של R[x] (חוג הפולינומים) מכיל עותק של { (R-\{ 0\} ) }^{ -1 }R, ושווה לשדה השברים של ({ (R-\{ 0\} ) }^{ -1 }R)[x].
  • אם R=\mathbb{Z} ו-S=\mathbb{Z}-p\mathbb{Z} כאשר p ראשוני, נקבל כי S^{-1}R= \{\frac{a}{b}:p \nmid b \}, והאידאל המקסימלי שלו הוא \mathfrak{p} R _{\mathfrak{p}}= \{\frac{a}{b}:p \nmid b , p \mid a\}.
  • אם R חוג שלם מעל C (כלומר, כל איבר של R הוא שורש של פולינום מתוקן עם מקדמים מ-C) אז S^{-1}R שלם מעל S^{-1}C לכל S \subseteq C כנ"ל.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]