לוקליזציה (תורת החוגים)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת החוגים, לוקליזציה (לעתים רחוקות מכונה בעברית מיקום) היא שיטה להוספת איברים הפיכים לחוג. בהינתן חוג R ותת קבוצה של איברי החוג, S, רוצים לבנות חוג חדש *R והעתקת חוגים מ-R ל-*R כך שכל אחד מאיברי S יעבור תחת תמונת העתקה זו לאיבר הפיך ב-*R. יתר על כן, דורשים כי *R יהיה החוג ה"כללי ביותר" המקיים תכונה זאת. בשפה של תורת הקטגוריות אומרים ש-*R הוא פתרון לבעיה אוניברסלית מתאימה. לוקליזציה כזו נהוג לסמן על ידי \,S^{-1}R, או אם \,S= R-\mathfrak{p}, כאשר \mathfrak{p} הוא אידאל ראשוני, על ידי \,R_\mathfrak{p}.

בנייה עבור חוגים קומוטטיביים[עריכת קוד מקור | עריכה]

לשם פשטות, נניח כי הקבוצה S הינה סגורה כפלית, כלומר, אם \,a,b \in S אז \,a\cdot b \in S, וכמו כן נניח כי \,1 \in S. על הקבוצה \,R \times S נחשוב כעל קבוצת שברים \,\frac{r}{s}. נגדיר יחס שקילות על קבוצה זו, על ידי (r1,s1) ~ (r2,s2) אם קיים \,t \in S כך ש \,t(r_1s_2-r_2s_1)=0 \in R. נשים לב כי אם R תחום שלמות, ובהנחה ש \,0 \notin S, דרישה זו שקולה לכך ש- \,r_1s_2-r_2s_1=0, בדיוק כמו בשוויון של שברים רגילים. איבר האפס בחוג יהיה \frac { 0 }{ 1 } ואיבר היחידה יהיה \frac { 1 }{ 1 } . ביתר כלליות וגם בחוגים בלי יחידה, ניתן להגדיר את היחידה והאפס גם אחרת, למשל כך - \frac { 0 }{ s } ,\frac { s }{ s } , עם s בS.

על קבוצת המנה \,R \times S / \sim נגדיר פעולות חיבור וכפל על ידי:

 \,\frac{r_1}{s_1}+\frac{r_2}{s_2} = \frac{r_1s_2+r_2s_1}{s_1s_2} \qquad \qquad \frac{r_1}{s_1}\cdot\frac{r_2}{s_2} = \frac{r_1r_2}{s_1s_2}.

על ידי חישוב ניתן לוודא שבדרך זו, קבוצת המנה, המסומנת ב \,S^{-1}R מקבלת מבנה של חוג, וכי ההעתקה \,\phi:R \to S^{-1}R הניתנת על ידי \,\phi(r) = \frac{r}{1} היא הומומורפיזם של חוגים, השולח כל איבר ב-S לאיבר הפיך.

כלליות ומינימליות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אחת התכונות המעניינות של החוג שהוגדר היא שהוא החוג ה'מינימלי' בעל תכונת ההפיכות. כלומר, אם קיים חוג 'R אחר עם מונומורפיזם \varphi :R\rightarrow R' וכך שתמונות איברי S הפיכים ב 'R, אז בהכרח קיים מונומורפיזם \psi :{ S }^{ -1 }R\rightarrow R'. היחס שמתקיים בין המונומורפיזמים הנ"ל הוא \varphi =\psi \circ \phi , כאשר \phi הוגדרה לעיל. פירוש הטענה הוא שאם כבר הגענו ל"הרחבה" של החוג בה איברי S הפיכים, אז בהכרח עברנו בדרך בחוג השברים { S }^{ -1 }R (עד כדי איזומורפיזם). יחס זה מאפשר ליצור דיאגרמה קומוטטיבית בין החוגים R,{ S }^{ -1 }R,R'.

הוכחה נגדיר ישירות את \psi :{ S }^{ -1 }R\rightarrow R' על פי הכלל: \psi (\frac { r }{ s } )=\varphi (r){ \varphi (s) }^{ -1 } ונוכיח את התכונות הבאות:

  • מוגדרות היטב - נשים לב ש\varphi מוגדרת היטב, וכן \varphi (s) אכן הפיך בחוג, על פי ההגדרה. אם ניקח מחלקות זהות \frac { r }{ s } =\frac { r' }{ s' } , נקבל \psi (\frac { r }{ s } )=\varphi (r){ \varphi (s) }^{ -1 }=\varphi (r)\varphi (s'){ \varphi (s') }^{ -1 }{ \varphi (s) }^{ -1 }=\varphi (rs'){ \varphi (s') }^{ -1 }{ \varphi (s) }^{ -1 }=\varphi (r's){ \varphi (s') }^{ -1 }{ \varphi (s) }^{ -1 }=\varphi (r')\varphi (s){ \varphi (s') }^{ -1 }{ \varphi (s) }^{ -1 }=\varphi (r')\varphi (s){ \varphi (s) }^{ -1 }{ \varphi (s') }^{ -1 }=\psi (\frac { r' }{ s' } )

\psi (\frac { r }{ s } +\frac { r' }{ s' } )=\psi (\frac { rs'+r's }{ ss' } )=\varphi (rs'+r's){ \varphi (ss') }^{ -1 }=\varphi (r)\varphi (s'){ \varphi (s) }^{ -1 }{ \varphi (s') }^{ -1 }+\varphi (r')\varphi (s){ \varphi (s) }^{ -1 }{ \varphi (s') }^{ -1 }=\varphi (r){ \varphi (s) }^{ -1 }+\varphi (r'){ \varphi (s') }^{ -1 }=\psi (\frac { r }{ s } )+\psi (\frac { r' }{ s' } )

פעולת הכפל: \psi (\frac { r }{ s } \cdot \frac { r' }{ s' } )=\psi (\frac { rr' }{ ss' } )=\varphi (rr'){ \varphi (ss') }^{ -1 }=\varphi (r){ \varphi (s) }^{ -1 }\varphi (r'){ \varphi (s') }^{ -1 }=\psi (\frac { r }{ s } )\psi (\frac { r' }{ s' } )

מעבר היחידה: \psi (\frac { 1 }{ 1 } )=\varphi (1){ \varphi (1) }^{ -1 }=1

  • חד חד ערכיות - נוכיח שהגרעין כולל את איבר האפס בלבד - אכן אם \frac { r }{ s } \in Ker\psi , נקבל \psi (\frac { r }{ s } )=\varphi (r){ \varphi (s) }^{ -1 }=0. מהפיכות נקבל כי בהכרח \varphi (r)=0. העתקה זו חח"ע, ולכן גרעינה אפס גם כן, ולכן בהכרח r=0. לכן הגרעין טריוויאלי.
  • נראה כי אכן \varphi =\psi \circ \phi :

\psi \circ \phi (r)=\psi (\phi (r))=\psi (\frac { r }{ 1 } )=\varphi (r){ \varphi (1) }^{ -1 }=\varphi (r)

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • יהי R תחום שלמות, ותהי \,S = R-\{0\}. במקרה זה \,S^{-1}R הוא שדה השברים של R.
  • אם R תחום שלמות עם יחידה, אז שדה השברים של R[x] (חוג הפולינומים) מכיל עותק של { (R-\{ 0\} ) }^{ -1 }R, ושווה לשדה השברים של ({ (R-\{ 0\} ) }^{ -1 }R)[x]

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]