חוג תורשתי

בתורת החוגים, חוג תורשתי (שמאלי) הוא חוג שכל תת-מודול של מודול פרויקטיבי (שמאלי) מעליו גם הוא פרויקטיבי.

לדוגמה, כל תחום ראשי (ובמקרה הלא-קומוטטיבי, אף תחום שכל אידאל שמאלי שלו הוא ראשי) הוא תורשתי. החוג $\ F[x,y]$ של פולינומים בשני משתנים מעל שדה אינו תורשתי.

תכונות קרובות

חוג שמעליו כל תת-מודול נוצר סופית של מודול פרויקטיבי (שמאלי) הוא פרויקטיבי, נקרא תורשתי למחצה (שמאלי). כדי לקיים תכונה זו, די בכך שכל אידאל (שמאלי) נוצר סופית של החוג הוא פרויקטיבי. מעל חוג תורשתי למחצה, כל תת-מודול של מודול שטוח (ימני או שמאלי) הוא שטוח. בעוד שמעל כל חוג, כל מודול פרויקטיבי איזומורפי לסכום ישר של מודולים פרויקטיביים נוצרים-מנייתית‏, מעל חוג תורשתי למחצה כל מודול פרויקטיבי איזומורפי לסכום ישר של אידאלים שמאליים נוצרים סופית. תחום שלמות תורשתי למחצה נקרא תחום פרופר. חוג הוא תורשתי למחצה חלש אם לכל שרשרת של העתקות $P \stackrel{\alpha}{\rightarrow} Q \stackrel{\beta}{\rightarrow}P'$ בין מודולים פרויקטיביים נוצרים סופית, שהרכבתה אפס, אפשר לפרק $Q = Q' \oplus Q''$ כאשר $\operatorname{im}\alpha \subseteq Q' \subseteq \operatorname{ker}\beta$. כל חוג תורשתי למחצה הוא תורשתי למחצה חלש, ותנאי זה האחרון הוא סימטרי להחלפת ימין ושמאל.

חוג שמעליו כל אידאל שמאלי ראשי הוא פרויקטיבי, נקרא חוג ריקארטי (אנ'). כמובן, כל חוג תורשתי הוא תורשתי למחצה, וכל חוג תורשתי למחצה הוא ריקארטי. חוג הוא תורשתי למחצה אם ורק אם כל חוגי המטריצות מעליו הם ריקארטיים, ותורשתי אם ורק אם כל חוגי האנדומורפיזמים של מודולים חופשיים מעליו הם ריקארטיים.

ימין-שמאל

בדרך כלל, תורשתיות אינה סימטרית להחלפת ימין שמאל: יש חוגים תורשתיים שמאליים עם מודולים פרויקטיביים ימניים, שיש להם תת-מודולים שאינם פרויקטיביים. עם זאת, חוג חוג פרימרי-למחצה (כלומר מקומי למחצה עם רדיקל ג'ייקובסון נילפוטנטי) הוא תורשתי שמאלי אם ורק אם הוא תורשתי ימני. בדומה לזה, חוג נותרי (שמאלי) הוא תורשתי שמאלי אם ורק אם הוא תורשתי ימני.