חוג תורשתי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת החוגים, חוג תורשתי (שמאלי) הוא חוג שבו פרויקטיביות עוברת בתורשה ממודול (שמאלי) לכל תת-מודול.

לדוגמה, כל תחום דדקינד הוא תורשתי. בפרט, כל תחום ראשי (ובמקרה הלא-קומוטטיבי, אף תחום שכל אידאל שמאלי שלו הוא ראשי) הוא תורשתי. לעומת זאת החוג \ F[x,y] של פולינומים בשני משתנים מעל שדה אינו תורשתי.

תנאים שקולים לתורשתיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

התנאים הבאים שקולים לכך שהחוג תורשתי (שמאלי):

  1. כל תת-מודול של מודול פרויקטיבי הוא פרויקטיבי.
  2. כל אידאל שמאלי הוא פרויקטיבי (העובדה שזהו תנאי מספיק היא משפט שהוכיח מוריץ אוסלדנר).
  3. כל מודול מנה של מודול אינג'קטיבי הוא אינג'קטיבי.
  4. כל מודול הוא מנה של מודולים פרויקטיביים.
  5. כל מודול הוא גרעין של אפימורפיזם בין מודולים אינג'קטיביים.
  6. הפונקטור הנגזר \ \operatorname{Ext}^2_R שווה לאפס.

ימין-שמאל[עריכת קוד מקור | עריכה]

בדרך כלל, תורשתיות אינה סימטרית להחלפת ימין שמאל: יש חוגים תורשתיים שמאליים עם מודולים פרויקטיביים ימניים, שיש להם תת-מודולים שאינם פרויקטיביים (את הדוגמה הראשונה מסוג זה נתן Kaplansky, 1958). עם זאת, חוג חוג פרימרי-למחצה (כלומר מקומי למחצה עם רדיקל ג'ייקובסון נילפוטנטי) הוא תורשתי שמאלי אם ורק אם הוא תורשתי ימני. בדומה לזה, עבור חוגים נתריים, תורשתיות משמאל ומימין שקולות זו לזו.

תכונות קרובות[עריכת קוד מקור | עריכה]

חוג שמעליו כל תת-מודול נוצר סופית של מודול פרויקטיבי (שמאלי) הוא פרויקטיבי, נקרא תורשתי למחצה (שמאלי). כדי לקיים תכונה זו, די בכך שכל אידאל (שמאלי) נוצר סופית של החוג הוא פרויקטיבי. מעל חוג תורשתי למחצה, כל תת-מודול של מודול שטוח (ימני או שמאלי) הוא שטוח. בעוד שמעל כל חוג, כל מודול פרויקטיבי איזומורפי לסכום ישר של מודולים פרויקטיביים נוצרים-מנייתית‏[1], מעל חוג תורשתי למחצה כל מודול פרויקטיבי איזומורפי לסכום ישר של אידאלים שמאליים נוצרים סופית. תחום שלמות תורשתי למחצה נקרא תחום פרופר. חוג הוא תורשתי למחצה חלש אם לכל שרשרת של העתקות P \stackrel{\alpha}{\rightarrow} Q \stackrel{\beta}{\rightarrow}P' בין מודולים פרויקטיביים נוצרים סופית, שהרכבתה אפס, אפשר לפרק Q = Q' \oplus Q'' כאשר \operatorname{im}\alpha \subseteq Q' \subseteq \operatorname{ker}\beta. כל חוג תורשתי למחצה הוא תורשתי למחצה חלש, ותנאי זה האחרון הוא סימטרי להחלפת ימין ושמאל.

אידאל I של R הוא אידאל תורשתי אם \ I^2 = I, \ I\cdot J(R)\cdot I  =0, ו-\ I פרויקטיבי כמודול (שמאלי או ימני - התנאים שקולים) מעל A. חוג פרימרי-למחצה R הוא קוואזי-תורשתי אם יש בו שרשרת של אידאלים \ I_0 \sub I_1 \sub \cdots \sub I_{k-1} \sub I_k = R כך שלכל i, \ I_{i+1}/I_i הוא אידאל תורשתי של \ R/I_i. הדוגמה הראשונה לתכונה זו (שהוגדרה ב-1989) היא אלגברת שור של ההצגות ההומוגניות של \ \operatorname{GL}_n(\mathbb{C}).

חוג שמעליו כל אידאל שמאלי ראשי הוא פרויקטיבי, נקרא חוג ריקארטי (אנ'). כמובן, כל חוג תורשתי הוא תורשתי למחצה, וכל חוג תורשתי למחצה הוא ריקארטי. חוג הוא תורשתי למחצה אם ורק אם כל חוגי המטריצות מעליו הם ריקארטיים, ותורשתי אם ורק אם כל חוגי האנדומורפיזמים של מודולים חופשיים מעליו הם ריקארטיים.

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ היינו, עם קבוצה בת-מניה של יוצרים

מקורות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • What is a hereditary algebra?, C.M. Ringel, [1].