חוק המספרים הגדולים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בסטטיסטיקה, חוק המספרים הגדולים הוא שמם המשותף של שני משפטים העוסקים בהתנהגות הממוצע במדגמים גדולים, הנקראים החוק החלש והחוק החזק. משפט הגבול המרכזי מספק תיאור מדויק יותר של התנהגות הממוצע, אבל חוקי המספרים הגדולים חלים במקרים כלליים יותר.

החוק החלש[עריכת קוד מקור | עריכה]

לפי החוק החלש של המספרים הגדולים, סדרת הממוצעים מתכנסת בהסתברות אל התוחלת, כלומר, הסיכוי של הממוצע להיות רחוק מן התוחלת שואף לאפס כאשר גודל המדגם שואף לאינסוף. ניתן להסיק את החוק מאי שוויון צ'בישב.

תהי \ X_1,X_2,\dots סדרה של משתנים מקריים בלתי מתואמים (לאו דווקא בלתי תלויים), בעלי אותה תוחלת \ \mu סופית, ואינטגרבילית לפי אינטגרל לבג .

נסמן \ \bar{X}_n=(X_1+\dots+X_n)/n. החוק החלש של המספרים הגדולים קובע שלכל \ \varepsilon>0, מתקיים \ \lim_{n\rightarrow \infty} P(|\bar{X}_n-\mu|<\varepsilon)=1, כלומר: ההסתברות שהממוצע יהיה רחוק מן התוחלת, שואפת לאפס.

החוק החזק[עריכת קוד מקור | עריכה]

החוק החזק של המספרים הגדולים קובע שסדרת הממוצעים מתכנסת כמעט בוודאות, ושגבולה הוא התוחלת. מהתכנסות כמעט בוודאות הנובעת מהחוק החזק אפשר להסיק את החוק החלש; מצד שני, ההתכנסות בהתפלגות של \ \frac{1}{\sqrt{n}}(X_1+\cdots+X_n) שאותה מבטיח משפט הגבול המרכזי, גוררת התכנסות כמעט בוודאות של הממוצעים.

תהי \ X_1,X_2,\dots,X_n סדרה של משתנים מקריים בלתי תלויים בעלי אותה התפלגות, שיש לה תוחלת \ \mu סופית ואינטגרבילית לבג ( שונות סופית אינה נדרשת ).

נסמן \ \bar{X}_n=(X_1+\dots+X_n)/n. החוק החזק של המספרים הגדולים קובע שבהסתברות 1, מתקיים \ \lim_{n\rightarrow \infty} \bar{X}_n=\mu.

המתמטיקאי אנדריי קולמוגורוב הראה שהמשפט מתקיים גם אם המשתנים אינם שווי התפלגות, ובלבד שיש להם אותה תוחלת, ושסדרת השונויות מקיימת את תנאי קולמוגורוב: הטור \ \sum\frac{V(X_n)}{n^2} מתכנס.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]