חוק המספרים הגדולים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בסטטיסטיקה, חוק המספרים הגדולים הוא שמם המשותף של שני משפטים העוסקים בהתנהגות הממוצע במדגמים גדולים, הנקראים החוק החלש והחוק החזק. משפט הגבול המרכזי חזק משניהם.

[עריכה] החוק החלש

לפי החוק החלש של המספרים הגדולים, הסיכוי של הממוצע להיות רחוק מן התוחלת שואף לאפס כאשר גודל המדגם שואף לאינסוף. ניתן להסיק את החוק מאי שוויון צ'ביצ'ב.

תהי $\ X_1,X_2,\dots$ סדרה של משתנים מקריים בלתי תלויים, בעלי אותה תוחלת $\ \mu$ , ובעלי שונות חסומה. נסמן $\ \bar{X}_n=(X_1+\dots+X_n)/n$ . החוק החלש של המספרים הגדולים קובע שלכל $\ \varepsilon>0$ , מתקיים $\ \lim_{n\rightarrow \infty} P(|\bar{X}_n-\mu|<\varepsilon)=1$ , כלומר: ההסתברות שהממוצע יהיה רחוק מן התוחלת, שואפת לאפס.

[עריכה] החוק החזק

החוק החזק של המספרים הגדולים קובע שסדרת הממוצעים מתכנסת בהסתברות 1, ושגבולה הוא התוחלת. מן החוק החזק אפשר להסיק את החוק החלש; מצד שני, החוק החזק הוא בעצמו גרסה חלשה של משפט הגבול המרכזי.

תהי $\ X_1,X_2,\dots$ סדרה של משתנים מקריים בלתי תלויים בעלי אותה התפלגות, שיש לה תוחלת $\ \mu$ ושונות סופית. נסמן $\ \bar{X}_n=(X_1+\dots+X_n)/n$ . החוק החזק של המספרים הגדולים קובע שבהסתברות 1, מתקיים $\ \lim_{n\rightarrow \infty} \bar{X}_n=\mu$ .

המתמטיקאי יליד רוסיה אנדריי קולמוגורוב (1903-1987), הראה שהמשפט מתקיים גם אם המשתנים אינם שווי התפלגות, ובלבד שיש להם אותה תוחלת, ושסדרת השונויות מקיימת את תנאי קולמוגורוב: הטור $\ \sum\frac{V(X_n)}{n^2}$ מתכנס.