חוק המספרים הגדולים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בסטטיסטיקה, חוק המספרים הגדולים הוא שמם המשותף של שני משפטים העוסקים בהתנהגות הממוצע במדגמים גדולים, הנקראים החוק החלש והחוק החזק. משפט הגבול המרכזי מספק תיאור מדויק יותר של התנהגות הממוצע, אבל חוקי המספרים הגדולים חלים במקרים כלליים יותר.

החוק החלש[עריכת קוד מקור | עריכה]

לפי החוק החלש של המספרים הגדולים, סדרת הממוצעים מתכנסת בהסתברות אל התוחלת, כלומר, הסיכוי של הממוצע להיות רחוק מן התוחלת שואף לאפס כאשר גודל המדגם שואף לאינסוף. ניתן להסיק את החוק מאי שוויון צ'בישב.

תהי \ X_1,X_2,\dots סדרה של משתנים מקריים בלתי מתואמים (לאו דווקא בלתי תלויים), בעלי אותה תוחלת \ \mu סופית.

נסמן \ \bar{X}_n=(X_1+\dots+X_n)/n. החוק החלש של המספרים הגדולים קובע שלכל \ \varepsilon>0, מתקיים \ \lim_{n\rightarrow \infty} P(|\bar{X}_n-\mu|<\varepsilon)=1, כלומר: ההסתברות שהממוצע יהיה רחוק מן התוחלת, שואפת לאפס.

החוק החזק[עריכת קוד מקור | עריכה]

החוק החזק של המספרים הגדולים קובע שסדרת הממוצעים מתכנסת כמעט בוודאות, ושגבולה הוא התוחלת. מהתכנסות כמעט בוודאות הנובעת מהחוק החזק אפשר להסיק את החוק החלש; מצד שני, ההתכנסות בהתפלגות של \ \frac{1}{\sqrt{n}}(X_1+\cdots+X_n) שאותה מבטיח משפט הגבול המרכזי, גוררת התכנסות כמעט בוודאות של הממוצעים.

תהי \ X_1,X_2,\dots,X_n סדרה של משתנים מקריים בלתי תלויים בעלי אותה התפלגות, שיש לה תוחלת \ \mu סופית ואינטגרבילית לבג ( שונות סופית אינה נדרשת ).

נסמן \ \bar{X}_n=(X_1+\dots+X_n)/n. החוק החזק של המספרים הגדולים קובע שבהסתברות 1, מתקיים \ \lim_{n\rightarrow \infty} \bar{X}_n=\mu.

המתמטיקאי אנדריי קולמוגורוב הראה שהמשפט מתקיים גם אם המשתנים אינם שווי התפלגות, ובלבד שיש להם אותה תוחלת, ושסדרת השונויות מקיימת את תנאי קולמוגורוב: הטור \ \sum\frac{V(X_n)}{n^2} מתכנס.

מקרים בהם החוק החזק אינו תקף אך החלש כן תקף[עריכת קוד מקור | עריכה]

ייתכנו מקרים בהם החוק החזק אינו תקף מכיוון שערך התוחלת של המשתנה המקרי בערך מוחלט אינו סופי ( לא אינטגרבילי לבג ) ואילו החוק החלש כן תקף ( הפניה [[1]])

כלומר מתקיים EX^+=EX^-=\infty

  1. עבור הטרנספורמציה של x המתפלג מעריכית עם פרמטר 1 בעלת התוחלת :E\left(\frac{sin(x)e^x}{x}\right) =\ \int_{0}^{\infty}\frac{sin(x)e^x}{x}e^{-x}dx = \frac{\pi}{2}
  2. עבור הטרנספורמציה של x המתפלג גאומטרית עם הסתברות 0.5 בעלת התוחלת : E\left(\frac{2^x(-1)^x}{x}\right) =\ \sum_{1}^{\infty}\frac{2^x(-1)^x}{x}2^{-x}=-ln(2)
  3. עבור ההתפלגות

 1-F(x)=\frac{e}{2xlog(x)},x \ge e

  F(x)=\frac{e}{-2xlog(-x)},x \le -e הפניה [[2]]

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

http://www.mathnet.or.kr/mathnet/kms_tex/31810.pdf^ 1: גירסה עדכנית לחוק החלש

http://www.isds.duke.edu/courses/Fall09/sta205/lec/lln.pdf^ 2: מאמר הכולל הבדלים בין החוק החזק לחלש