מכפלה ישרה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, מכפלה ישרה היא אובייקט מתמטי המורכב מכמה אובייקטים מאותו סוג ללא "הפרעות" הדדיות ביניהם. כאשר מכפילים מספר סופי של אובייקטים, המכפלה הישרה זהה לסכום הישר, אבל כאשר מדובר במספר אינסופי של אובייקטים המכפלה הישרה גדולה ומסובכת יותר; אפילו ההנחה שיש בה איברים תלויה באקסיומת הבחירה.

אפשר להגדיר מכפלה ישרה של מבנים אלגבריים כמו מרחבים וקטוריים או מודולים, של קבוצות סדורות, ועוד. המכפלה הישרה של מרחבים טופולוגיים נקראת "מרחב מכפלה".

אם \ M_i הם אובייקטים מאותו סוג לכל \ i \in I, כאשר \ I היא קבוצת אינדקסים, אז המכפלה הישרה היא המכפלה הקרטזית \ \prod_i M_i , כלומר קבוצת הפונקציות \ f : I \rightarrow \cup M_i כך ש- \ f(i) \in M_i לכל \ i\in I. לעומת זאת, בסכום הישר כוללים רק את הפונקציות שכמעט כל הערכים שלהן טריוויאליים, במובן המתאים לסוג האובייקט. להמחשת ההבדל, המכפלה הישרה \ \mathbb{Z}^\omega של \ \aleph_0 עותקים של \ \mathbb{Z} אינה חבורה אבלית חופשית[1] (אבל תת-החבורה של הסדרות החסומות היא חופשית[2]).

הגדרה קטגורית[עריכת קוד מקור | עריכה]

בתורת הקטגוריות, המכפלה הישרה של אובייקטים \ A_i בקטגוריה, היא אובייקט \ B=\prod A_i, עם מורפיזמים ("היטלים") \ \pi_i {:} B\rightarrow A_i, המקיימים את התכונה הבאה: לכל אובייקט \ C בקטגוריה עם מורפיזמים \ f_i{:}C\rightarrow A_i, קיים מורפיזם יחיד \ f{:}C \rightarrow B כך ש- \ f_i = \pi_i f.

הסכום הישר מוגדר באופן דואלי: הסכום הישר של האובייקטים \ A_i, הוא אובייקט \ B=\coprod A_i, עם מורפיזמים \ \iota_i {:} A_i \rightarrow B, המקיימים את התכונה הבאה: לכל אובייקט \ C בקטגוריה עם מורפיזמים \ f_i{:}A_i\rightarrow C, קיים מורפיזם יחיד \ f{:}B \rightarrow C כך ש- \ f_i = f \iota_i. אם הסכום הישר קיים בקטגוריה, אז הוא יחיד עד כדי איזומורפיזם.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ Baer, 1937
  2. ^ Specker, 1950